如果相关，如何从另一个时间序列预测一个时间序列

一年多来，我一直在试图解决这一问题，但进展不大。它是我正在做的一个研究项目的一部分，但我将用我编写​​的一个故事示例进行说明，因为问题的实际范围有点令人困惑（视线跟踪）。

您是一架追踪穿越海洋的敌舰的飞机，因此您已收集了该舰的一系列（x，y，time）坐标。您知道，一艘隐藏的潜艇会随船一起航行以保护它，但是尽管它们的位置之间存在关联，但潜艇经常会从船上滑落，因此虽然它通常在船的附近，但是它也可能在船的另一侧世界偶尔。您想预测潜艇的路径，但不幸的是，它对您而言是隐藏的。

但是在4月份的一个月中，您会注意到潜艇忘记隐藏自己，因此您在进行1000次航行时都对潜艇和船只具有一系列坐标。使用这些数据，您想建立一个模型，以仅考虑船的运动来预测隐藏式潜艇的路径。天真的基准就是说“潜艇位置猜测=”船的当前位置”，但是从4月份可见潜艇的数据中，您会注意到潜艇有可能稍微领先于船舶，因此“潜艇位置“猜测= 1分钟内的位置”是一个更好的估计。此外，4月份的数据显示，当船舶停泊在水中一段较长的时间时，潜艇很可能不在沿海水域巡逻。还有其他模式当然。

以四月份的数据作为训练数据，您将如何构建该模型来预测潜艇的航行路线？我当前的解决方案是临时线性回归，其中因素包括“行程时间”，“船的x坐标”，“船闲置1天”等，然后让R找出权重并进行交叉验证。 。但是，我真的很喜欢从四月份的数据自动生成这些因素的方法。另外，使用序列或时间的模型会很好，因为线性回归不适用，而且我认为这很重要。

感谢您通读所有内容，我很乐意澄清所有内容。

这是一种不使用任何“上下文”信息的方法，也就是说，它没有考虑到“某潜艇正在跟随一艘船”这一事实。另一方面，很容易开始：

表示为

$x_{sub}(t), y_{sub}(t)$

$x_{ship}(t), y_{ship}(t)$

$t$

$x_{dist} (t) = x_{ship} (t) - x_{sub} (t)$

$y_{dist} (t) = y_{ship} (t) - y_{sub} (t)$

My suggestion is that you predict each of these separately (you can tie them together later).

Let's take a moment to picture what these look like. Let's focus on the $x$-coordinate, and let's say that the ship is moving towards the right with the sub following behind it. Suppose the sub is around 100 meters behind the ship, with a deviation of say 10 meters.

Then

$x_{dist} (t) = 100 \pm 10 \cdot wiggle(t)$

You could then model the "$wiggle$" function as a Gaussian white-noise variable having zero mean and unit variance.

Now (still focussing on the $x$ coordinate, the story for $y$ is the same) if the $wiggle$ function were white noise, you would be able to compute the mean $\mu$ and the standard deviation $\sigma$ of the series $x_{dist}$ and write

$x_{dist}(t) = \mu + \sigma \cdot W_x(t)$

Since you have actual data, you can compute the time-series $W_x(t)$ and see if it follows a Gaussian (i.e. Normal) distribution. If it does, or even if it is any distribution you recognize, you could then generate values and make predictions for $x_{dist}$.

Another strategy people employ (which I think will work for you) is that they break up their series into

Polynomial base + Cyclic pattern + Bounded randomness

In the case of a submarine and a ship, the polynomial part would probably be constant and the cyclic part a sum of sines and cosines (from the waves of the ocean...). This may not be the case for eye-tracking.

There are tools which can figure this out for you. Here are two that I know of:

1. DTREG (30 day evaluation license)
2. Microsoft时间序列算法，是其SQL Server产品的一部分。我目前正在使用他们的180天评估版，易于使用。

这是SQL Server工具的屏幕截图（虚线部分是预测）：

他们使用的一种算法称为ARIMA。为了学习它的工作原理，我做了一些谷歌搜索，发现了这本书：时间序列第一门课程（不用担心，您不需要遵循SAS。我不需要。）这是非常可读的。

您不必知道ARIMA如何使用这些工具，但是如果您有上下文，我认为它总是容易的，因为要设置“模型参数”等。