给定一个具有未知偏差的硬币，可以有效地从一个公平的硬币中生成变量

给定一个具有未知偏差的硬币，我如何才能尽可能有效地生成以伯努利分布的概率为0.5的变量？也就是说，使用每个生成的变量的最小翻转次数。$p$

这是一个众所周知的问题，在这里和stackoverflow中已经讨论了几个不错的解决方案（似乎我无法发布多个链接，但是快速的Google搜索为您提供了一些有趣的条目）。看一下维基百科条目

http://en.wikipedia.org/wiki/Fair_coin#Fair_results_from_a_biased_coin

我认为这是一个经典问题，最初应归因于冯·诺伊曼。一种解决方案是保持成对扔硬币直到成对的硬币不同，然后根据成对硬币中的第一个硬币的结果。

明确地让为抛掷的结果，其中为第一个硬币，为第二个硬币。每个硬币的正面概率为。然后由于对称性，，这意味着。要清楚地看到这种对称性，请注意表示结果是或，由于独立性，两者的可能性均相等。$(X_i,Y_i)$$i$$X_i$$Y_i$$p$$P(X_i=H|X_i\neq Y_i)=P(X_i=T|X_i\neq Y_i)$$P(X_i=H|X_i\neq Y_i)=1/2$（H ，T ）（T ，H $X_i\neq Y_i$$(H,T)$$(T,H)$

根据经验，直到这样的不平等对的等待时间是

当接近0或1时，它会爆炸（这是有道理的）。$p$

我不确定如何有效地概括这些术语，但是只要总数和成功总数等于都可以，我们就可以停止，因为我们可以划分不同的我们可以将和分为两组等概率的排序，每组分别对应于不同的输出标签。我们需要注意，尚未对这些元素停止操作，即，没有元素具有长度为且前缀为成功元素，使得为偶数。我不确定如何将其转换为预期的翻转次数。$n$$t$$\binom{n}{t}$$n$$t$$n'$$t'$$\binom{n'}{t'}$

为了显示：

我们可以在TH或HT停下来，因为它们的概率相等。沿着Pascal的三角形向下移动，下一个偶数项位于第四行：4、6、4。这意味着如果出现一个磁头，我们可以在滚动后停止，因为我们可以创建两部分匹配：HHHT和HHTH，技术上来说是HTHH尽管我们已经为此停止了。同样，产生与TTHH匹配的HHTT（其余的，在到达它们之前我们已经停止了）。$\binom42$

对于，所有序列均已停止前缀。在处，它变得更加有趣，我们将FFFFTTFT与FFFFTTTF相匹配。$\binom52$$\binom83$

对于8次后的，如果我们停止了，则没有停止的机会是并且具有预期的数。对于我们保持滚动对直到它们不同的解决方案，如果我们停止滚动，则停止的机会是和预期的滚动数。通过递归，预期翻转的上限给出的算法为。 $p=\frac12$$\frac1{128}$$\frac{53}{16}$$\frac{1}{16}$$\frac{128}{127} \cdot \frac{53}{16} = \frac{424}{127} < 4$

我编写了一个Python程序以打印出停止点：

import scipy.misc
from collections import defaultdict


bins = defaultdict(list)


def go(depth, seq=[], k=0):
    n = len(seq)
    if scipy.misc.comb(n, k, True) % 2 == 0:
        bins[(n,k)].append("".join("T" if x else "F"
                                   for x in seq))
        return
    if n < depth:
        for i in range(2):
            seq.append(i)
            go(depth, seq, k+i)
            seq.pop()

go(8)

for key, value in sorted(bins.items()):
    for i, v in enumerate(value):
        print(v, "->", "F" if i < len(value) // 2 else "T")
    print()

印刷品：

FT -> F
TF -> T

FFFT -> F
FFTF -> T

FFTT -> F
TTFF -> T

TTFT -> F
TTTF -> T

FFFFFT -> F
FFFFTF -> T

TTTTFT -> F
TTTTTF -> T

FFFFFFFT -> F
FFFFFFTF -> T

FFFFFFTT -> F
FFFFTTFF -> T

FFFFTTFT -> F
FFFFTTTF -> T

FFFFTTTT -> F
TTTTFFFF -> T

TTTTFFFT -> F
TTTTFFTF -> T

TTTTFFTT -> F
TTTTTTFF -> T

TTTTTTFT -> F
TTTTTTTF -> T