加权方差，再一次

无偏加权方差已在此处和其他地方得到解决，但似乎仍然令人惊讶。对于第一个链接以及Wikipedia文章中提供的公式似乎已达成共识。这也看起来像R，Mathematica和GSL（而不是MATLAB）使用的公式。但是，Wikipedia文章还包含以下几行，对于加权方差实现而言，这看起来很不错：

例如，如果从同一分布中得出值{2,2,4,5,5,5}，那么我们可以将此集合视为未加权样本，也可以将其视为加权样本{2,4， 5}和相应的权重{2,1,3}，我们应该得到相同的结果。

我的计算得出原始值的方差为2.1667，加权方差为2.9545。我真的应该期望它们是一样的吗？为什么或者为什么不？

是的，您应该期望两个示例（未加权与加权）都能得到相同的结果。

我已经实现了Wikipedia文章中的两种算法。

这个作品：

如果所有$x_i$均来自同一分布，并且整数权重$w_i$表示样本中的出现频率，则加权总体方差的无偏估计量如下：

$s^2\ = \frac {1} {V_1 - 1} \sum_{i=1}^N w_i \left(x_i - \mu^*\right)^2,$

但是，这个（使用分数权重）对我不起作用：

如果每个$x_i$是从方差为$1/w_i$的高斯分布中得出的，则加权总体方差的无偏估计量为：

$s^2\ = \frac {V_1} {V_1^2-V_2} \sum_{i=1}^N w_i \left(x_i - \mu^*\right)^2$

我仍在调查第二个方程无法按预期工作的原因。

/ EDIT：找到了第二个方程式不起作用的原因：只有当您具有归一化的权重或方差（“可靠性”）权重时，才可以使用第二个方程式，并且它不是无偏的，因为如果您没有使用“重复”权重（计数观察值的次数，因此应该在数学运算中重复进行计数），您将无法计算观察值的总数，因此无法使用校正因子。

因此，这解释了使用加权和非加权方差的结果差异：您的计算有偏差。

因此，如果您想拥有一个无偏加权方差，请仅使用“重复”权重并使用我上面发布的第一个等式。如果这不可能，那么您将无能为力。

如果您需要更多信息，我也更新了Wikipedia的文章：http : //en.wikipedia.org/wiki/Weighted_arithmetic_mean#Weighted_sample_variance

以及有关无偏加权协方差（由于极化标识而实际上是相同的方差）的链接文章： 加权无偏样本协方差的正确方程式