为什么X和XY随机变量之间的相关系数趋于0.7

摘自道格拉斯·奥特曼（Douglas Altman）在第285页上写的《医学研究实用统计》：

...对于任意两个X和Y，X将与XY相关。确实，即使X和Y是随机数的样本，我们也希望X和XY的相关性为0.7

我在R中尝试过这种情况，似乎是这样的：

x <- rnorm(1000000, 10, 2)
y <- rnorm(1000000, 10, 2)
cor(x, x-y)

xu <- sample(1:100, size = 1000000, replace = T)
yu <- sample(1:100, size = 1000000, replace = T)
cor(xu, xu-yu)

这是为什么？这背后的理论是什么？

如果和Y ^是不相关的具有相同方差的随机变量σ 2，那么我们有 VAR （X - Ÿ $X$$Y$$\sigma^2$ 因此，ρX，X-ÿ=COV（X，X-ÿ

$$\begin{align} \operatorname{var}(X-Y) &= \operatorname{var}(X) + \operatorname{var}(-Y)\\ &= \operatorname{var}(X) + \operatorname{var}(Y)\\ &=2\sigma^2,\\ \operatorname{cov}(X, X-Y) &= \operatorname{cov}(X,X) - \operatorname{cov}(X,Y) & \text{bilinearity of covariance operator}\\ &= \operatorname{var}(X) - 0 & 0 ~\text{because}~X ~\text{and}~ Y ~\text{are uncorrelated}\\ &= \sigma^2. \end{align}$$ 所以，当你发现 Σ ñ 我= 1（X我- ˉ X）（（X我-Ÿ我）- （ ˉ X - ˉ ÿ） $$\rho_{X,X-Y} = \frac{\operatorname{cov}(X, X-Y)}{\sqrt{\operatorname{var}(X)\operatorname{var}(X-Y)}}= \frac{\sigma^2}{\sqrt{\sigma^2\cdot2\sigma^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$ 的样本相关X和X-ÿ为一个大的数据集{（X我，ÿ我）：1≤我≤ $$\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i - \bar{x}\right) \left((x_i-y_i) - (\bar{x}-\bar{y})\right)}{ \sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i - \bar{x}\right)^2 \sum_{i=1}^n\left((x_i-y_i) - (\bar{x}-\bar{y})\right)^2}}$$ $x$$x-y$从具有这些属性的种群中抽取，特殊情况下包括“随机数”，结果往往接近种群相关值$\{(x_i,y_i)\colon 1 \leq i \leq n\}$$\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071\ldots$

几何统计解释。

$n$ $2$ $X$$Y$$X$$Y$

$X$$Y$$r=0$

$X$$Y$

$X-Y$$X+Y$

$X-Y$$X+Y$$\sqrt{2\sigma^2}$$X$$X-Y$$X+Y$$0.707...$

我相信这里也有一个基于对称的简单直觉。由于X和Y具有相同的分布并且协方差为0，因此X±Y与X的关系应“解释” X±Y变化的一半；另一半应该用Y来解释。因此R ²应该是1/2，这意味着R是1 /√2≈0.707。

这是一种简单的方法来考虑为什么这里完全存在相关性。

想象一下，减去两个分布后会发生什么。如果x的值较低，则平均而言，x - y其值将小于x的值较高时。随着x的增加，然后x - y平均增加，因此呈正相关。