两个独立的伽玛随机变量的总和

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如果和，其中和是独立随机变量，则。 $X\sim\mathrm{Gamma}(a,\theta)$ $Y\sim\mathrm{Gamma}(b,\theta)$ $X$ $Y$ $X+Y\sim \mathrm{Gamma}(a+b, \theta)$

但是我没有任何证据。谁能指出我的证据？

编辑：非常感谢Zen，而且我在Wikipedia页面上找到了关于特征函数的答案作为示例。

probability pdf gamma-distribution

— 德克斯特12
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3

直觉： Gamma

分布是

独立的指数分布之和，因此在这种情况下，如果

和

均为正整数，则

将立即具有Gamma

分布。

(n)

$(n)$

n

$n$

X + Y

$X+Y$

(a + b, θ)

$(a+b,\theta)$

a

$a$

b

$b$

— ub

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证明如下：（1）请记住，独立随机变量之和的特征函数是其各个特征函数的乘积；（2）获取的伽马随机变量的特性函数在这里 ; （3）做简单的代数。

要获得除此代数论点之外的一些直觉，请查看whuber的评论。

注意： OP询问如何计算伽玛随机变量的特征函数。如果，那么（你可以把作为一个普通的常数，在这种情况下） $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$ $i$

ψ_{X} (t) = E [e^{i t X}] = \int_{0}^{\infty} e^{i t x} λ e^{- λ x} d x = \frac{1}{1 - i t / λ} .

$\psi_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\int_0^\infty e^{itx} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{1-it/\lambda}\, .$

现在使用胡伯的提示：如果，则，其中的是独立。因此，使用性能（1），我们有 $Y\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$ $Y=X_1+\dots+X_k$ $X_i$ $\mathrm{Exp}(\lambda = 1/\theta)$

ψ_{Y} (t) = {(\frac{1}{1 - i t θ})}^{k} .

$\psi_Y(t) = \left( \frac{1}{1-it\theta}\right)^k \, .$

提示：您将不会学习盯着结果和证明的这些东西：保持饥饿，计算所有内容，尝试查找自己的证明。即使您失败了，您对他人答案的赞赏也会更高。而且，是的，失败是可以的：没有人在寻找！学习数学的唯一方法是为每个概念和结果而战。

— 禅
source

引用的声明明确指出“只要所有Xi是独立的”。

— ub

我不明白的一件事是，我们是如何得出特征函数的？

— Dexter12年

我将其添加到答案中。看一看。

— 2013年

或许可以包括用于的特征函数的参考

为非整数的值

？

Γ (a, θ)

$\Gamma(a,\theta)$

a

$a$

— Dilip Sarwate

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这是一个不需要使用特征函数的答案，而是增强了一些在统计中还有其他用途的想法。独立随机变量之和的密度是密度的卷积。因此，为了便于说明，取，则， $\theta = 1$ $z > 0$

\begin{aligned} f_{X + Y} (z) & = \int_{0}^{z} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x \\ = \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} e^{- x}}{Γ (a)} \frac{(z - x)^{b - 1} e^{- (z - x)}}{Γ (b)} d x \\ = e^{- z} \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} (z - x)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d x & now substitute x = z t and think \\ = e^{- z} z^{a + b - 1} \int_{0}^{1} \frac{t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d t & of Beta (a, b) random variables \\ = \frac{e^{- z} z^{a + b - 1}}{Γ (a + b)} \end{aligned}

$\begin{align} f_{X+Y}(z) &= \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^z \frac{x^{a-1}e^{-x}}{\Gamma(a)}\frac{(z-x)^{b-1}e^{-(z-x)}}{\Gamma(b)}\,\mathrm dx\\ &= e^{-z}\int_0^z \frac{x^{a-1}(z-x)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dx &\scriptstyle{\text{now substitute}}~ x = zt~ \text{and think}\\ &= e^{-z}z^{a+b-1}\int_0^1 \frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dt & \scriptstyle{\text{of Beta}}(a,b)~\text{random variables}\\ &= \frac{e^{-z}z^{a+b-1}}{\Gamma(a+b)} \end{align}$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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(X, Y) \mapsto (U, V) = (X + Y, X)

$(X,Y)\mapsto(U,V)=(X+Y,X)$

X - Y

$X-Y$

@pikachuchameleon看到我的这个答案。

— Dilip Sarwate

3

$a$ $b$ $X$ $Y$ $a$ $b$ $\theta$ $X$ $Y$

独立
总计出现的等待时间 $a+b$

$a+b$ $a+b,\theta$

这些都不是数学上的证明，但是会在连接的骨骼上放些肉，如果您想在数学上证明它，可以使用它。

— Svein Olav Nyberg
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