使用MCMC从已知密度的双变量分布中抽样

我尝试使用R中的Metropolis算法从二元密度进行模拟，但是没有运气。密度可以表示为 ，其中是Singh-Maddala分布$p(x,y)$$p(y|x)p(x)$$p(x)$

$p(x)=\dfrac{aq x^{a-1}}{b^a (1 + (\frac{x}{b})^a)^{1+q}}$

参数，q，b和p（y | x）是对数正态的，其中log-mean是x的分数，而log-sd是常数。为了测试我的样本是否是我想要的样本，我查看了x的边际密度，其应为p（x）。我尝试了R包MCMCpack，mcmc和dream中的不同Metropolis算法。我舍弃了老化，使用细化处理，使用了大小不超过100万的样本，但是由此产生的边际密度从来不是我提供的那种。$a$$q$$b$$p(y|x)$$x$$x$$p(x)$

这是我使用的代码的最终版本：

logvrls <- function(x,el,sdlog,a,scl,q.arg) {
    if(x[2]>0) {
         dlnorm(x[1],meanlog=el*log(x[2]),sdlog=sdlog,log=TRUE)+
         dsinmad(x[2],a=a,scale=scl,q.arg=q.arg,log=TRUE)
    }
    else -Inf    
}

a <- 1.35
q <- 3.3
scale <- 10/gamma(1 + 1/a)/gamma(q - 1/a)*  gamma(q) 

Initvrls <- function(pars,nseq,meanlog,sdlog,a,scale,q) {
    cbind(rlnorm(nseq,meanlog,sdlog),rsinmad(nseq,a,scale,q))
}

library(dream)
aa <- dream(logvrls,
        func.type="logposterior.density",
        pars=list(c(0,Inf),c(0,Inf)),
        FUN.pars=list(el=0.2,sdlog=0.2,a=a,scl=scale,q.arg=q),
        INIT=Initvrls,
        INIT.pars=list(meanlog=1,sdlog=0.1,a=a,scale=scale,q=q),
        control=list(nseq=3,thin.t=10)
        )

我选择了理想的方案，因为它一直采样直至收敛。我已经通过三种方式测试了我是否具有正确的结果。使用KS统计量，比较分位数，并根据所得样本的最大似然估计Singh-Maddala分布的参数：

ks.test(as.numeric(aa$Seq[[2]][,2]),psinmad,a=a,scale=scale,q.arg=q)

lsinmad <- function(x,sample)
    sum(dsinmad(sample,a=x[1],scale=x[2],q.arg=x[3],log=TRUE))
 optim(c(2,20,2),lsinmad,method="BFGS",sample=aa$Seq[[1]][,2])

 qq <- eq(0.025,.975,by=0.025)   
 tst <- cbind(qq,
              sapply(aa$Seq,function(l)round(quantile(l[,2],qq),3)),
              round(qsinmad(qq,a,scale,q),3))
 colnames(tst) <- c("Quantile","S1","S2","S3","True")

 library(ggplot2)
 qplot(x=Quantile,y=value,
       data=melt(data.frame(tst),id=1), 
       colour=variable,group=variable,geom="line")

当我查看这些比较的结果时，KS统计量几乎总是拒绝零假设，即样本来自具有提供参数的Singh-Maddala分布。最大似然估计参数有时接近其真实值，但通常离舒适区太远，以致无法接受采样过程成功。与分位数一样，经验分位数不是太远，而是太远。

我的问题是我做错了什么？我自己的假设：

1. MCMC不适合此类采样
2. 由于理论上的原因，MCMC无法收敛（分布函数不满足所需的性质，无论它们是什么）
3. 我没有正确使用Metropolis算法
4. 我的分布测试不正确，因为我没有独立的样本。

我认为顺序是正确的，但是分配给p（x）和p（y | x）的标签是错误的。原始问题状态p（y | x）是对数正态的，而p（x）是Singh-Maddala。所以就是

1. 从Singh-Maddala生成一个X，然后

2. 从对数法线生成Y，其平均值为所生成X的一部分。

实际上，您不应该执行MCMC，因为您的问题非常简单。试试这个算法：

步骤1：从对数法线生成X

步骤2：保持X不变，从Singh Maddala生成Y。

瞧！准备样品！！！