多个随机变量乘积的方差

我们知道两个自变量的答案：

V 一种 [R （ X ÿ ） = Ë （ X^{2} ÿ^{2} ） - （ Ë （ X ÿ ） ）^{2} = V 一种 [R （ X ） V 一种 [R （ ÿ ） + V 一种 [R （ X ） （ Ë （ ÿ ） ）^{2} + V 一种 [R （ ÿ ） （ Ë （ X ） ）^{2}

${\rm Var}(XY) = E(X^2Y^2) − (E(XY))^2={\rm Var}(X){\rm Var}(Y)+{\rm Var}(X)(E(Y))^2+{\rm Var}(Y)(E(X))^2$

但是，如果我们采用两个以上变量的乘积，就方差和每个变量的期望值而言，答案是什么？ ${\rm Var}(X_1X_2 \cdots X_n)$

variance random-variable independence

— 达姆拉
source

因为

是一个随机变量，并且（假设所有

是独立的）它独立于

，所以得出的答案是归纳式的：不需要新的东西。为避免这看起来太神秘，该技术与指出相同，因为您可以使用一个计算器将两个数字相加，因此可以通过重复加法使用同一计算器将

数字相加。

X_{1} X_{2} \dots X_{n - 1}

$X_1X_2\cdots X_{n-1}$

X_{i}

$X_i$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— ub

您能写出所显示方程式的证明吗？我很好奇地发现

项发生了什么，这应该给您一些涉及

。

(E [X Y])^{2}

$(E[XY])^2$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

— Dilip Sarwate 2013年

@DilipSarwate，我怀疑这个问题默认为

和

是独立的。每当

不相关且

不相关时，OP的公式正确。在这里查看我对相关问题的回答。

X

$X$

Y

$Y$

X, Y

$X,Y$

X^{2}, Y^{2}

$X^2, Y^2$

— 2013年

@Macro我很清楚您提出的观点。我试图让OP自己理解和/或弄清楚的是，对于独立随机变量，就像

简化为

E [X^{2} Y^{2}]

$E[X^2Y^2]$

简化为

Ë [X^{2} ÿ^{2}] = Ë [X^{2}] Ë [ÿ^{2}] = （ σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2} ） （ σ_{ÿ}^{2} + μ_{ÿ}^{2} ） ，

$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]=(\sigma_X^2+\mu_X^2)(\sigma_Y^2+\mu_Y^2),$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}]

$E[(X_1\cdots X_n)^2]$

Ë [（ X_{1个} \dots X_{ñ} ）^{2}] = Ë [X_{1个}^{2}] \dots Ë [X_{ñ}^{2}] = \prod_{一世 = 1个}^{ñ} （ σ_{X_{一世}}^{2} + μ_{X_{一世}}^{2} ）

$E[(X_1\cdots X_n)^2]=E[X_1^2]\cdots E[X_n^2]=\prod_{i=1}^n(\sigma_{X_i}^2+\mu_{X_i}^2)$ 我认为这是比胡伯指出的归纳法更直接的获得最终结果的方法。

— Dilip Sarwate 2013年

@DilipSarwate，很好。我建议您将其发布为答案，以便我投票！

— 2013年

$X_1, X_2, \cdots , X_n$

\begin{aligned} 变种 （ X_{1个} \dots X_{ñ} ） & = Ë [（ X_{1个} \dots X_{ñ} ）^{2}] - {（ Ë [X_{1个} \dots X_{ñ}] ）}^{2} \\ = Ë [X_{1个}^{2} \dots X_{ñ}^{2}] - {（ Ë [（ X_{1个}] \dots Ë [X_{ñ}] ）}^{2} \\ = Ë [X_{1个}^{2}] \dots Ë [X_{ñ}^{2}] - （ Ë [X_{1个}] ）^{2} \dots （ Ë [X_{ñ}] ）^{2} \\ = \prod_{一世 = 1个}^{ñ} （ 变种 （ X_{一世} ） + （ Ë [X_{一世}] ）^{2} ） - \prod_{一世 = 1个}^{ñ} {（ Ë [X_{一世}] ）}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[(X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}^{2}

$X_1^2$

X_{2}^{2}

$X_2^2$

n \geq 3

$n \geq 3$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
source

非常感谢！我真的很感激。是的，问题在于独立随机变量。

— damla 2013年

X_{1个} = X_{2} = \dots = X_{ñ} = X

$X_1=X_2=\cdots=X_n=X$

我已经在新页面上发布了问题。非常感谢！stats.stackexchange.com/questions/53380/…–

— 丹拉

n

$n$

3

$3$