两个加权随机变量的方差

让：

随机变量的标准偏差$A =\sigma_{1}=5$

随机变量的标准偏差$B=\sigma_{2}=4$

那么A + B的方差为：

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}p_{1,2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

哪里：

是两个随机变量之间的相关性。$p_{1,2}$

是随机变量A的权重$w_{1}$

是随机变量B的权重$w_{2}$

$w_{1}+w_{2}=1$

下图绘制了A和B的方差，其中A的权重从0变为1，相关性为-1（黄色），0（蓝色）和1（红色）。

当相关为1时，公式如何得出直线（红色）？据我所知，当，公式简化为：$p_{1,2}=1$

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

$y=mx+c$

谢谢。

$w_1 + w_2 = 1$

$$\eqalign{ \text{Var}(w_1 A + w_2 B) &= \left( w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 \right)^2 \cr &= \left( w_1(\sigma_1 - \sigma_2) + \sigma_2 \right)^2 \text{.} }$$

$\sigma_1 \ne \sigma_2$$w_1$$\sigma_2 / (\sigma_2 - \sigma_1)$$\sigma_1 = 5$$\sigma_2 = 4$$-5$

$\sigma_1 = \sigma_2$$w_1$

$w_1$$0$$1$$w_1$ $w_1$

$\rho = 1 - 2^{-k}, k = -1, 0, 1, \ldots, 10$

它不是线性的。公式说它不是线性的。相信您的数学直觉！

$\sigma_{1}=5$$\sigma_{2}=4$$\sigma_{1}=37$

这是一些R代码：

a <- 5; b <- 4; p <- 1
f <- function(w) w^2*a^2 + (1-w)^2*b^2 + 2*w*(1-w)*p*a*b
curve(f, from = 0, to = 1)

如果您想检查一些坡度：

(f(0.5) - f(0.4)) / 0.1
(f(0.8) - f(0.7)) / 0.1