为什么美国和英国学校采用不同的标准差计算方法？

15

据我了解，英国学校教导说使用以下方法可以找到标准偏差：

$替代文字$

而美国学校则教：

$替代文字$

（无论如何都是基本水平）。

过去，这曾导致我的许多学生在Internet上进行搜索时遇到问题，但发现了错误的解释。

为什么会有所不同？

如果使用简单的数据集（例如10个值），那么如果采用错误的方法（例如，在检查中），将会出现什么程度的错误？

— 阿摩司
source

4

我不确定将其中一个描述为“错误”公式是理解问题的方式。只是第二个是“更好的”，因为它是真实标准偏差的无偏估计量。因此，如果您关心无偏估计，则第二个估计“更好” /“正确”。

我纯粹将公式描述为“错误”的意思是，在考试中，如果您使用的课程提纲没有规定您将得出“错误”的答案。另外，如果这些值本身不是总体样本，那么肯定第一个公式会给出更准确的值。

— 阿莫斯（Amos）2010年

14

Srikant，我不认为第二个是无偏估计。它的平方是真实方差的无偏估计。但是，詹森不等式确定随机变量的曲线函数的期望与随机变量的期望的函数不同。因此，第二个公式不能成为真实标准偏差的无偏估计量。

— 安德鲁·罗宾逊

供交叉参考：@ m.SE ... 也被询问 ...

— JM不是统计学家2010年

4

任何使用Freedman，Pisani和Purves最受欢迎的基本教科书的美国学校都使用第一个公式（

），因此将其描述为美国与英国的差异似乎是不正确的。

s_{n}

$s_n$

— ub

18

第一个公式是总体标准偏差，第二个公式是样本标准偏差。第二个公式也与方差的无偏估计有关- 有关更多详细信息，请参见Wikipedia。

我想（在这里）在英国，他们没有在高中样本和人口之间进行区分。他们当然不会碰到有偏估计量之类的概念。

— csgillespie
source

4

标准偏差的无偏估计器Colin在一般情况下不具有闭合形式表示。存在的是方差（在这种情况下为s 2 ）的无偏估计量。值得注意的是，两者都是总体方差的一致估计量-因此，根据连续映射定理，这是标准差的两个估计量。一个相关的点是s n 2 的MSE低于s 2 。施加公正性的额外优势是有争议的。

— 莫宁顿2010年

@Tirthankar-我很草率。我已经稍微改变了答案。谢谢。

— csgillespie 2010年

2

据我所记得，我曾在GCSE数学和科学课程（14-16岁）中被教过“样本”计算，总体和样本之间的区别及其相关的方差度量在A级（但不深入）中得到了涵盖（ 16-18岁）。所以我不确定这是英国/美国之间的简单区别。

— Freya Harrison

11

因为还没有人回答最后一个问题，即量化两个公式之间的差异，所以我们来解决这个问题。

由于许多原因，比较标准偏差的比率而不是差异是合适的。比例是

s_{n} / s = \sqrt{\frac{N - 1}{N}} = \sqrt{1 - \frac{1}{N}} \approx 1 - \frac{1}{2 N} .

$s_n / s = \sqrt{\frac{N-1}{N}} = \sqrt{1 - \frac{1}{N}} \approx 1 - \frac{1}{2N}.$

近似值可以视为舍去平方根的（交替）泰勒级数，表示误差不能超过=。这可以确定，一旦为或更大，则近似值足以满足我们的目的。 $|\binom{1/2}{2}N^{-2}|$ $1 / (8 N^2)$ $N$ $2$

立即可以看出，一旦超过，两个SD估计值彼此之间（大约）在10％之内，一旦超过，两个SD估计值在5％之内，依此类推。显然，出于许多目的，这些差异是如此之小，以至于使用哪种公式都无所谓，尤其是当SD用于描述数据的传播或进行半定量评估或预测时（例如在采用68-95时） -99.7经验法则）。比较时，差异甚至不那么重要 $N$ $5$ $N$ $10$ SD，例如在比较两个数据集的传播时。（当数据集相等时，差异会完全消失，并且两个公式都得出相同的结论。）可以说，这是我们试图教初学者的推理形式，因此，如果学生开始担心使用哪种公式，可以认为这是文本或课程未能强调真正重要的内容的标志。

我们可能要注意非常小的的情况。例如，这里的人们可能正在使用检验而不是检验。在这种情况下，必须使用表格或软件使用的标准偏差的任何公式。（这不是一个公式是对还是错的问题；这只是一个一致性要求。）大多数表使用，而不是：这是基本课程提纲中的一个地方，课本和老师需要清楚说明哪个地方使用的公式。 $N$ $t$ $z$ $s$ $s_n$

— ub
source

6

这是贝塞尔的更正。美国版本显示的是样品标准偏差的公式，而上面的英国版本是样品的标准偏差。

— 里德·科普西
source

5

我不确定这纯粹是美国与英国的问题。该页面的其余部分摘自我写的一个常见问题解答。（http://www.graphpad.com/faq/viewfaq.cfm?faq=1383）。

如何用分母中的n-1计算SD

计算每个值与样本均值之差的平方。
将这些值相加。
将总和除以n-1。结果称为方差。
取平方根以获得标准偏差。

为什么是n-1？

在计算标准偏差时，为什么要除以n-1而不是n？在步骤1中，您将计算每个值与这些值的平均值之间的差。您不知道人口的真实中位数；您所知道的只是样本的平均值。除了样本均值恰好等于总体均值的极少数情况外，数据将比实际均值更接近样本均值。因此，您在第2步中计算出的值可能会比在第1步中使用真实总体均值时要小（且不能大）。要弥补这一点，请除以n-1而不是比nv称为贝塞尔校正。

但是为什么要n-1？如果您知道样本均值以及除一个值外的所有值，则可以计算出最后一个值必须是什么。统计人员说有n-1个自由度。

SD何时应使用分母n而不是n-1计算？

统计书通常在分母中显示两个方程式来计算SD，一个方程式使用n，另一个方程式使用n-1。一些计算器有两个按钮。

n-1方程式通常用于分析数据样本并希望得出更一般性结论的情况。以这种方式计算的SD（分母为n-1）是您对总体中SD值的最佳猜测。

如果您只是想量化一组特定数据的变化，并且不打算外推得出更广泛的结论，则可以使用分母中的n计算SD。所得的SD是这些特定值的SD。如果要估计从中得出这些点的总体的SD，则以这种方式计算SD毫无意义。仅当没有总体样本时才需要在分母中使用n，并且不希望得出一般性结论。

科学的目标几乎总是泛化，因此不应该使用分母中带有n的方程。我能想到的唯一例子就是量化考试成绩之间的差异。但是更好的方法是显示每个分数的散点图或频率分布直方图。

— 哈维·莫图尔斯基
source

1

我并不是在暗示那是什么，我只是好奇为什么会出现这样的差异，错误的建议可能会导致什么样的错误水平，以及是否有对我可以给我的学生带来差异的很好的解释。

— 阿莫斯（Amos）2010年

@harvey-链接已

— 消失

1

@baxx ..感谢您指出这一点。固定。

— 哈维·莫图尔斯基

3

由于N是数据集中的点数，因此可以说，通过计算平均值，可以将数据集的自由度降低1（因为有人将依赖项引入了数据集中），因此应该使用N当从一个数据集估计标准差时，该值应为-1，而之前必须为其估计平均值。

— 本杰明·班尼尔（Benjamin Bannier）
source