高斯-马尔可夫定理：BLUE和OLS

我正在阅读Wikipedia上的Guass-Markov定理，并且希望有人可以帮助我确定该定理的要点。

我们假设矩阵形式的线性模型由下式给出： 并且我们正在寻找BLUE，。

$$y = X\beta +\eta$$ $\widehat\beta$

按照此，我会标注 “残余”和 “错误”。（即与高斯-马尔可夫页面上用法相反）。$\eta = y - X\beta$$\varepsilon = \widehat\beta - \beta$

可以将OLS（普通最小二乘）估计器导出为。$||\text{residual}||_2^2 = ||\eta||_2^2$

现在，让表示期望运算符。据我了解，高斯-马尔可夫定理告诉我们的是，如果且，则argmin线性，无偏估计量由与OLS估算器。$\mathbb{E}$$\mathbb{E}(\eta) = 0$$\text{Var}(\eta) = \sigma^2 I$$\mathbb{E}(||\text{error}||_2^2) = \mathbb{E} (||\varepsilon||_2^2)$

即

$$\text{argmin}_{\text{} \widehat\beta(y)} \, ||\eta||_2^2 \;=\; (X'X)^{-1}X'y \;=\; \text{argmin}_{\text{linear, unbiased } \widehat\beta(y)} \, \mathbb{E}(||\varepsilon||_2^2)$$

我的理解正确吗？如果是这样，您是否认为在文章中应该对此进行更突出的强调？

我不确定我是否理解您的问题是正确的，但是如果您要证明的OLS 是BLUE（最佳线性无偏估计量），则必须证明以下两点：首先，是无偏的，其次是在所有线性无偏估计量中最小。$\hat{\beta}$$\hat{\beta}$$Var(\hat{\beta})$

可在此处找到OLS估计量无偏的证明，网址为http://economictheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/

有关在所有线性无偏估计量中最小的证明，请参见http://economictheoryblog.com/2015/02/26/markov_theorem/$Var(\hat{\beta})$

如确认的那样，例如在《计量经济学概论》第375页上，我的直觉确实是正确的 。相关摘录：