替换图纸时的预期重复数（三倍等）

我有以下问题：

我有100个独特的商品（n），我一次选择了43个（m）一件（有替换商品）。

我需要解决唯一性的预期数量（仅选择一次，k = 1），双打（恰好选择两次k = 2），三重（恰好k = 3），四边形等。

我已经找到了很多关于至少有一个双倍（生日悖论）的概率的结果，但是没有关于总体中预期的对数。

probability expected-value birthday-paradox

— 凯特琳·K
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蒙特卡洛估计对您有用吗，还是您需要封闭式答案？

— David J. Harris

我希望使用封闭式公式，以便可以轻松地将其应用于n，m和k的不同值。

— Kaitlyn K

的 $i^{th}$ iterm将被选中 $\text{Binom}(m, \, 1/n)$ 次。由此，您可以找到所需的所有数量，例如

E [number of  pairs] = \sum_{i = 1}^{n} P [i^{t h} item appears twice]

$\mathbb{E}[\text{number of pairs}] = \sum_{i = 1}^n \mathbb{P}[i^{th} \text{ item appears twice}]$ 例如，期望的对数为

n \cdot P [Binom (m, 1 / n) = 2] .

$n \cdot \mathbb{P}[\text{Binom}(m, \, 1/n) = 2].$

您可以使用命令n * dbinom（k，m，1 / n）获得R中的数值。

— 斯蒂芬·瓦格
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该公式可以用于ak = 0或1吗？

— Kaitlyn K

是的，它可以。k = 0时，您可以将其解释为“在m个选定的点中不会出现多少个点”。

— Stefan Wager 2013年

但是这些事件不是独立的。例如，当项目1出现m次，则其他任何项目都将无法出现。您不能简单地将P相加。

— asterix314 '19