如果A和B与C相关，为什么A和B不一定相关？

我凭经验知道情况就是如此。我刚刚开发了遇到这个难题的模型。我也怀疑这不一定是是/否答案。我的意思是，如果A和B都与C相关，那么这可能对A和B之间的相关性有一定的暗示。但是，这种暗示可能很弱。这可能只是一个指示方向，仅此而已。

这就是我的意思。假设A和B与C的相关性均为0.5。鉴于此，A和B之间的相关性很可能为1.0。我认为也可能是0.5甚至更低。但是，我认为这不太可能是负面的。你同意吗？

另外，如果您正在考虑使用标准的皮尔逊相关系数或斯皮尔曼（秩）相关系数，是否有暗示？我最近的经验观察与Spearman相关系数有关。

因为相关性是多元分布的数学属性，所以无论这些分布的统计起源如何，都可以通过计算纯粹地获得一些见识。

对于Pearson相关性，请考虑多元正态变量 ，，。这些方法很有用，因为任何非负定矩阵实际上都是某些多正态分布的协方差矩阵，从而解决了存在性问题。如果我们坚持对角线为矩阵，协方差矩阵的非对角线条目将是它们的相关性。将和的相关性写为，将和的相关性写为，以及和的相关性写为ý ž 1 X ý ρ ý ž τ X ž $X$$Y$$Z$$1$$X$$Y$$\rho$$Y$$Z$$\tau$$X$$Z$$\sigma$，我们计算得出

• $1 + 2 \rho \sigma \tau - \left(\rho^2 + \sigma^2 + \tau^2\right) \ge 0$（因为这是相关矩阵的行列式，不能为负）。

• 当这意味着。换句话说，当和都很大时，和必须具有非零相关性。ρ 2 + τ 2 ≤ 1 ρ τ X $\sigma = 0$$\rho^2 + \tau^2 \le 1$$\rho$$\tau$$X$$Z$

• 如果，则任何非负值（当然在和之间）都是可能的。σ 0 $\rho^2 = \tau^2 = 1/2$$\sigma$$0$$1$

• 当，负值是允许的。例如，当，可以介于和之间。σ ρ = τ = 1 / 2 σ - 1 / 2 $\rho^2 + \tau^2 \lt 1$$\sigma$$\rho = \tau = 1/2$$\sigma$$-1/2$$1$

这些考虑意味着对互相关的确存在一些约束。约束条件（仅取决于相关矩阵的非负定性，而不取决于变量的实际分布）可以根据关于单变量分布的假设来加强。例如，很容易看到（并证明）当和的分布不在同一位置范围族中时，它们的相关性大小必须严格小于。（证明：的相关性表示和与之线性相关）Y 1 ± 1 X $X$$Y$$1$$\pm 1$$X$$Y$

至于Spearman秩相关性去，考虑三个三变量观察，和的。他们互相等级相关的，，和。因此，即使和的秩相关的符号也可以与和以及和的相关符号相反。（2 ，3 ，1 ）（3 ，2 ，3 ）（X ，ÿ ，Ž ）1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 ý ž X ÿ X $(1,1,2)$$(2,3,1)$$(3,2,3)$$(X, Y, Z)$$1/2$$1/2$$-1/2$$Y$$Z$$X$$Y$$X$$Z$

我现在正在进行年度钓鱼之旅。我每天钓鱼的时间与我钓到的鱼的数量之间存在相关性。我使用的诱饵的大小与钓到的鱼的数量之间也存在相关性。诱饵的大小与一天中的时间之间没有关联。

相关是两个向量之间的角度的余弦值。在描述的情况下，（A，B，C）是三倍的观测值，进行了n次，每个观测值都是实数。A和B之间的相关性是在n维欧式空间中测得的和之间的角度的余弦值。所以，我们的情况减少了3个考虑载体，和的N维空间。我们有3对向量，因此有3个角度。如果两个角度较小（高相关），则第三个角度也较小。但是说“相关”并没有多大限制：这意味着角度在0到$V_A=A-E(A)$$V_B=B-E(B)$$V_A$$V_B$$V_C$$\pi/2$。通常，这完全不限制第三角度。把它的另一种方式，开始与任何角度小于之间和 （除-1的任何相关性）。让平分之间的角度和。然后C将与A和B相关联。$\pi$$V_A$$V_B$$V_C$$V_A$$V_B$

作为胡布尔答案的附加内容：给出的公式

$1 + 2 \rho \sigma \tau - \left(\rho^2 + \sigma^2 + \tau^2\right) \ge 0$。

可以转化为以下不等式（Olkin，1981）：

$\sigma\tau - \sqrt{(1-\sigma^2)(1-\tau^2)} \le \rho \le \sigma\tau + \sqrt{(1-\sigma^2)(1-\tau^2)}$

甲图形表示为上限和下限看起来像：$\rho$

奥尔金（I.）（1981）。乘积矩相关矩阵的范围限制。心理疗法，46，469-472。doi：10.1007 / BF02293804

我认为最好问一下“为什么它们应该相互关联？” 或者，也许“为什么要有任何特定的相关性？”

以下R代码显示x1和x2都与Y相关但彼此具有0相关的情况

x1 <- rnorm(100)
x2  <- rnorm(100)
y <- 3*x1 + 2*x2 + rnorm(100, 0, .3)

cor(x1,y)
cor(x2,y)
cor(x1,x2)

通过将.3减少到.1或其他任何值，可以增强与Y的相关性

我将把统计证明留给那些比我更适合的人……但是直觉上说事件A产生了一个过程X，该事件X有助于事件C的产生。然后，A与C相关联（通过X）。另一方面，B生成Y，Y的形状也为C。因此，A与C相关，B与C相关，但A和B不相关。

对于那些想要一些直觉的人，相关可以看作是某个角度的余弦。因此，考虑3D中的三个向量，假设A，B和C，每个向量对应一个变量。问题是当已知A与B之间的角度以及B与C之间的角度时，确定A与C之间可能的角度范围。为此，您无需安装任何软件即可使用在线工具。只需转到页面http://www.montefiore.ulg.ac.be/~pierard/chained_correlations.php

让我们举一个例子：

A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9}

B={x1,x2,x3,0,0,0,0,0,0}

C={0,0,0,x4,x5,x6,0,0,0}

对于某些x，A和B将具有显着的相关性，类似地，A和C也将具有显着的相关性，但B和C的相关性将不显着。

因此，如果A和B相关并且A和C相关，那么B和C也相关也不一定是正确的。

注意：为了深入理解，请在大数据上考虑此示例。