危险率，概率密度，生存函数之间的关系证明

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我读了一些关于生存分析的文章，大多数教科书都指出

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t} =\frac{f(t)}{1-F(t)} (1)$

其中是危险率， $h(t)$

$f(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t)}{ \Delta t}(2)$ 密度函数，

$F(t)=Pr(T<t) (3)$ 并且

$S(t)=Pr(T>t)=1-F(t) (4)$

他们还说

$S(t)= e^{- \int_0^t h(s)ds } (5)$

大多数教科书（至少我拥有的教科书）都没有提供（1）或（5）的证明。我认为我设法通过了（1）如下

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t}=$ $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t ) P(t < T \leq t+\Delta t)}{ P(T \geq t)\Delta t}$ 其中由于（2）和（4）变为 $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )f(t)}{S(t)\Delta t}$ 但 $P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )=1$ 因此 $h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}$

如何证明（5）？

survival

— 没有存货
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5

您是否注意到是的导数？

h (t)

$h(t)$

- \log S (t)

$- \log S(t)$

— 斯特凡·洛朗

是的，我也不明白...

— nostock

在证明（1）时，您首先应指出分子中的第二个概率为1，然后应用（2）和（4）。

— ocram

为什么订单很重要？

— Nostock 2013年

1

如果继续订购，您应该争辩为（而不是proba本身）的限制等于。无论如何，这是一个细节……

Δ t \to 0

$\Delta t \rightarrow 0$

1

$1$

— ocram

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的导数为因此，如@StéphaneLaurent所述，我们有，其中最后一个等式来自（1）。 $S$

\frac{d 小号 （ Ť ）}{d Ť} = \frac{d （ 1个 - F （ Ť ） ）}{d Ť} = - \frac{d F （ Ť ）}{d Ť} = - F （ Ť ）

$\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}} = \frac{\mathrm{d}(1 - F(t))}{\mathrm{dt}} = - \frac{\mathrm{d}F(t)}{\mathrm{dt}} = -f(t)$

- \frac{d 日志 （ 小号 （ Ť ） ）}{d Ť} = \frac{- \frac{d 小号 （ Ť ）}{d Ť}}{小号 （ Ť ）} = \frac{F （ Ť ）}{小号 （ Ť ）} = H （ Ť ）

$-\frac{\mathrm{d}\log(S(t))}{\mathrm{dt}} = \cfrac{-\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}}}{S(t)} = \frac{f(t)}{S(t)} = h(t)$

取先前关系的两边的整数，我们获得因此

- 日志 （ 小号 （ Ť ） ） = \int_{0}^{Ť} H （ s ） d s

$-\log(S(t)) = \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s$

小号 （ Ť ） = 经验值 {- \int_{0}^{Ť} H （ s ） d s}

$S(t) = \exp \left\{- \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s\right\}$

这是您的等式（5）。指数中不可或缺的部分是综合危害，也称为累积危害 [这样 ]。 $H(t)$ $S(t) = \exp(-H(t))$

— 奥克拉姆
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您能否在

- \frac{d 日志 （ 小号 （ Ť ） ）}{d Ť} = \frac{- \frac{d 小号 （ Ť ）}{d Ť}}{小号 （ Ť ）}

$-\frac{\mathrm{d}\log(S(t))}{\mathrm{dt}} = \cfrac{-\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}}}{S(t)}$

— nostock

1

这是链条规则。我们有这样

\frac{d \log (x)}{d x} = \frac{1}{x}

$\frac{\mathrm{d}\, \log(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x}$

\frac{d 日志 （ F （ X ） ）}{d X} = \frac{\frac{d F （ X ）}{d X}}{X}

$\cfrac{\mathrm{d}\, \log(f(x))}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\frac{\mathrm{d}\,f(x)}{\mathrm{d}x}}{x}$

— ocram

最后一个方程式右侧的x是否应为f（x）?，即要区分y = log S（t）。令u = S（t）因此。另外，我们有，因此。按照链式规则，因此

\frac{d ü}{d Ť} = d 小号 （ Ť ） / d Ť = {小号}^{'} （ Ť ）

$\frac{du}{dt} =dS(t)/dt = S'(t)$

y = l o g S (t) = l o g (u)

$y = log S(t) = log(u)$

\frac{d ÿ}{d ü} = \frac{1个}{ü} = \frac{1个}{小号 （ Ť ）}

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{S(t)}$

\frac{d ÿ}{d Ť} = \frac{d ÿ}{d ü} \frac{d ü}{d Ť} = \frac{1个}{小号 （ Ť ）} {小号}^{'} （ Ť ） = \frac{{小号}^{'} （ Ť ）}{小号 （ Ť ）}

$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dt} = \frac{1}{S(t)} S'(t) = \frac{S'(t)}{S(t)}$

— user1420372

@ user1420372：是的，您是对的。应该是f（x）。

— ocram

3

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)}

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}\$

= \frac{f (t)}{1 - F (t)}

$= \frac{f(t)}{1-F(t)}$

= \frac{f (t)}{1 - \int_{0}^{t} f (s) d s}

$= \frac{f(t)}{1- \int^t_0{f(s) ds}}$

整合双方：区分两边：

\int_{0}^{t} h (s) d s = \int_{0}^{t} \frac{f (s)}{1 - \int_{0}^{t} f (s) d s} d s

$\int^t_0 h(s) ds = \int^t_0 \frac{f(s)}{1- \int^t_0{f(s)ds}}ds$

= - \ln [1 - \int_{0}^{t} f (s) d s]_{0}^{t} + c

$= -\ln [1- \int^t_0{f(s)ds}]^t_0+ c$

1 - \int_{0}^{t} f (s) d s = \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$1- \int^t_0{f(s)ds} = \exp [-\int^t_0 h(s) ds]$

- f (t) = - h (t) \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$-f(t) = -h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

f (t) = h (t) \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$f(t) = h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

由于

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)}

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}$

S (t) = \frac{f (t)}{h (t)}

$S(t) = \frac{f(t)}{h(t)}$

将替换为，因此， $f(t)$ $h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

S (t) = \frac{h (t) \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]}{h (t)}

$S(t) = \frac{h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]}{h(t)}$

S (t) = \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$S(t) = \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

— 瓦拉
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3

我们证明以下等式： 证明：

小号 （ Ť ） = 经验值 {- \int_{0}^{Ť} H （ ü ） d ü}

$S(t)=\exp\{-\int_{0}^{t}h(u)du\}$

我们首先证明 证明：

F （ Ť ） = - \frac{d 小号 （ Ť ）}{d Ť}

$f(t)=-\frac{dS(t)}{dt}$

F （ Ť ） = \frac{d F （ Ť ）}{d Ť} = \frac{d P （ Ť < Ť ）}{d Ť} = \frac{d （ 1个 - 小号 （ Ť ） ）}{d Ť} = - \frac{d 小号 （ Ť ）}{d Ť} ◼

$f(t)=\frac{dF(t)}{dt}=\frac{dP(T<t)}{dt}=\frac{d(1-S(t))}{dt}=-\frac{dS(t)}{dt}\ \blacksquare$ 我们知道将入我们得到然后继续我们的主要证明。通过对上述等式的两边进行积分，我们得到然后得到结果

H （ Ť ） = \frac{F （ Ť ）}{小号 （ Ť ）}

$h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}$

f (t)

$f(t)$

h (t)

$h(t)$

H （ Ť ） = \frac{- \frac{d 小号 （ Ť ）}{d Ť}}{小号 （ Ť ）}

$h(t)=\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}$

\int_{0}^{t} h (u) d u = \int_{0}^{t} \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)} d t = \int_{0}^{t} - S (t)^{- 1} d S (t) = - [\log S (t) - \log S (0)] = - \log S (t)

$\int_0^th(u)du=\int_0^t\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}dt=\int_0^t-S(t)^{-1}dS(t)\\ =-[\log S(t)-\log S(0)]=-\log S(t)$

S (t) = \exp {- \int_{0}^{t} h (u) d u} ◼

$S(t)=\exp\{-\int_0^th(u)du\}\ \blacksquare$

— CCKevin Wang
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