包含测量不确定度的统计测试

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假设我得到了两组质量测量值（以mg为单位），分别称为y1和y2。我想做一个测试，以确定两个样本是否均来自具有不同均值的总体。例如（在R中）：

y1 <- c(10.5,2.9,2.0,4.4,2.8,5.9,4.2,2.7,4.7,6.6)
y2 <- c(3.8,4.3,2.8,5.0,9.3,6.0,7.6,3.8,6.8,7.9)
t.test(y1,y2)

我得到的p值为0.3234，在显着性水平为0.05的情况下，不要拒绝零假设，即两组均来自具有相同均值的总体。现在，我得到了每次测量的不确定性：

u1 <- c(2.3,1.7,1.7,1.7,2.0,2.2,2.1,1.7,2.3,2.2)
u2 <- c(2.4,1.8,1.6,2.3,2.5,1.8,1.9,1.5,2.3,2.3)

其中u1 [1]是测量值y1 [1]的组合标准不确定度（以此类推）。如何将这些不确定性纳入统计检验？

hypothesis-testing

— 汤姆
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这些配对测量与否？（我假设不是。）可以使用不确定性来得出权重，这可以改善您的推断，但是不确定性的变化很小，因此即使不确定性是准确的，也不会有太大的收益。

— Glen_b-恢复莫妮卡

这些是实际未配对数据的子集。该示例主要用于澄清问题。我真正要寻找的是关于如何将测量不确定度最佳地纳入假设检验（如检验）的一般指导。在我看来，如果不使用测量不确定性，我们将浪费大量有价值的信息，但是我一直无法在文献中找到关于该主题的明确指导。

— 汤姆（Tom）

为了充分利用它们，您需要将它们合并到观测的概率模型中。测量不确定度实际上代表什么？（您无法

— 手动执行

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听起来您想进行加权分析。请参阅SAS文档“概念”部分中的“加权统计示例”。

— 里克
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因此，我们仅使用加权均值和加权标准差进行t检验，其中u1和u1是权重？

— 汤姆

是。您将假设第i个观测值的方差为Var / w_i，其中w_i是第i个观测值的权重，而Var> 0。

— 里克

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为什么不模拟它？也就是说，将不确定性添加为每个观测的噪声实现。然后重复假设检验。大约执行1000次，看看有多少次空值被拒绝。您将需要选择噪声的分布。正常似乎是一种选择，但它可能产生负面观察结果，这是不现实的。

— 索克利
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您可以将其变成回归问题，并使用不确定性作为权重。即，通过回归预测来预测组（1或2？）。

但

不确定性大约是恒定的，因此使用它们似乎也不会改变太多。

您在10.5处有一个异常的异常值，这通过减小均值之间的差异而使问题复杂化。但是，如果您可以相信不确定性，那么该价值就不会比其他任何事物都值得怀疑。

t检验不知道您的替代假设是两个样本来自不同的总体。它所知道的只是在某些假设下比较均值。基于排名的测试是一种替代方法，但是如果您对这些数据作为度量感兴趣，那么听起来并不适合您的目标。

— 尼克·考克斯
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点了。我改变了问题，以手段来表达它。

— 汤姆（Tom）

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在普通最小二乘法（例如lm（y〜x））中，您可以在给定x值的情况下考虑y值附近的可变性（不确定性）。如果在（lm（x〜））处翻转回归，则会使x处的误差最小。在这两种情况下，都假定误差是相当均匀的。

如果您知道响应变量的每个观测值周围的方差量，并且当按x排序时方差不是恒定的，那么您将要使用加权最小二乘。您可以将y值加权为1 /（方差）。

如果您担心x和y都具有不确定性，并且两者之间的不确定性不相同，那么您就不想简单地最小化垂直于一根轴的残差（地址不确定性）。理想情况下，您将使垂直于拟合趋势线的不确定性最小化。为此，您可以使用PCA回归（也称为正交回归或总最小二乘。有用于PCA回归的R包，并且以前在此网站上有关于此主题的帖子，然后在其他地方进行了讨论。此外，我认为（即，我可能是错的...）您仍然可以利用对方差的了解来对该回归进行加权处理。

— rbatt
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