估计

我有一个如下的理论经济模型，

因此，理论认为存在，和因子来估计。$x_1$$x_2$$x_3$$y$

现在我有了真实的数据，我需要估计，，。问题在于实际数据集仅包含和数据；没有数据。所以我实际上可以拟合的模型是：$b_1$$b_2$$b_3$$x_1$$x_2$$x_3$

• 可以估计这个模型吗？
• 我会失去任何估计吗？
• 如果我确实估计，b_2，那么b_3x_3项去哪儿？b 2 b 3 x $b_1$$b_2$$b_3x_3$
• 它由错误项$u$吗？

并且我们想假设$x_3$与$x_1$和x_2不相关$x_2$。

您需要担心的问题称为内生性。更具体地说，这取决于在总体中是否与或。如果是，则关联的将被偏置。这是因为OLS回归方法强制残差与协变量不相关。但是，您的残差由一些不可约随机性，的，并且未观察到的（但相关）的变量，，其通过规定的与相关和/或x 1 x 2 b $x_3$$x_1$$x_2$$b_j$X Ĵ ε $u_i$$x_j$$\varepsilon_i$$x_3$x $x_1$$x_2$。在另一方面，如果两个 与与不相关人口，那么他们的旨意不受此（他们可能会通过别的偏向，当然）偏置。计量经济学家尝试解决此问题的一种方法是使用工具变量。 x 2 x 3$x_1$$x_2$$x_3$$b$

为了更清楚起见，我在R中编写了一个快速仿真，演示了当与不相关时，的采样分布是无偏的/以的真实值为中心。但是，在第二次运行中，请注意与不相关，但与不相关。并非巧合的是，没有偏见，但是有偏见。 β 2 X 3 X 3 X 1 X 2 b 1 b $b_2$$\beta_2$$x_3$$x_3$$x_1$$x_2$$b_1$$b_2$

library(MASS)                          # you'll need this package below
N     = 100                            # this is how much data we'll use
beta0 = -71                            # these are the true values of the
beta1 = .84                            # parameters
beta2 = .64
beta3 = .34

############## uncorrelated version

b0VectU = vector(length=10000)         # these will store the parameter
b1VectU = vector(length=10000)         # estimates
b2VectU = vector(length=10000)
set.seed(7508)                         # this makes the simulation reproducible

for(i in 1:10000){                     # we'll do this 10k times
  x1 = rnorm(N)
  x2 = rnorm(N)                        # these variables are uncorrelated
  x3 = rnorm(N)
  y  = beta0 + beta1*x1 + beta2*x2 + beta3*x3 + rnorm(100)
  mod = lm(y~x1+x2)                    # note all 3 variables are relevant
                                       # but the model omits x3
  b0VectU[i] = coef(mod)[1]            # here I'm storing the estimates
  b1VectU[i] = coef(mod)[2]
  b2VectU[i] = coef(mod)[3]
}
mean(b0VectU)  # [1] -71.00005         # all 3 of these are centered on the
mean(b1VectU)  # [1] 0.8399306         # the true values / are unbiased
mean(b2VectU)  # [1] 0.6398391         # e.g., .64 = .64

############## correlated version

r23 = .7                               # this will be the correlation in the
b0VectC = vector(length=10000)         # population between x2 & x3
b1VectC = vector(length=10000)
b2VectC = vector(length=10000)
set.seed(2734)

for(i in 1:10000){
  x1 = rnorm(N)
  X  = mvrnorm(N, mu=c(0,0), Sigma=rbind(c(  1, r23),
                                         c(r23,   1)))
  x2 = X[,1]
  x3 = X[,2]                           # x3 is correated w/ x2, but not x1
  y  = beta0 + beta1*x1 + beta2*x2 + beta3*x3 + rnorm(100)
                                       # once again, all 3 variables are relevant
  mod = lm(y~x1+x2)                    # but the model omits x3
  b0VectC[i] = coef(mod)[1]
  b1VectC[i] = coef(mod)[2]            # we store the estimates again
  b2VectC[i] = coef(mod)[3]
}
mean(b0VectC)  # [1] -70.99916         # the 1st 2 are unbiased
mean(b1VectC)  # [1] 0.8409656         # but the sampling dist of x2 is biased
mean(b2VectC)  # [1] 0.8784184         # .88 not equal to .64

让我们用几何术语来思考。想象一个“球”，一个球的表面。它描述为。现在，如果具有x 2，y 2，z 2的值，并且具有r 2的测量值， 则可以确定系数“ a”，“ b”和“ c”。（您可以将其称为椭圆形，但将其称为球更简单。）$r^2 = ax^2+by^2+cz^2 + \epsilon$$x^2$$y^2$$z^2$$r^2$

如果只有 和y 2项，则可以画一个圆。除了定义球的表面之外，您将描述一个实心圆。方程式你代替配合是- [R 2 ≤ 一个X 2 + b ý 2 + ε。 $x^2$$y^2$$r^2 \le ax^2 + by^2 + \epsilon$

您正在将“球”（无论其形状）投影到圆的表达式中。它可能是对角线定位的“球”，形状更像缝纫针，因此分量彻底破坏了两个轴的估计。它可能是一个看起来像被压碎的m＆m的球，其中硬币轴分别为“ x”和“ y”，并且投影为零。没有“ z ”信息，您将无法知道它是哪个。$z$$z$

最后一段谈论的是“纯信息”案，没有说明噪音。实际测量中的信号带有噪声。沿与轴对齐的周界噪声将对您的配合产生更大的影响。即使您拥有相同数量的样本，您在参数估计中的不确定性也会更大。如果它是与这种简单的线性轴定向情况不同的方程式，则情况可能会变得“ 梨形 ”。您当前的方程是平面形状的，因此z数据可能没有遍历整个球的表面而没有边界（投影），因此投影可能是一个严重的问题。

可以建模吗？那是一个判断电话。了解问题细节的专家可能会回答。如果他们远离问题，我不知道是否有人可以给出很好的答案。

您确实会失去一些好处，包括参数估计的确定性以及所转换模型的性质。

的估计消失在ε和其他参数估计中。它取决于整个系统，取决于整个系统。$b_3$

其他答案虽然没有错，但使问题变得更加复杂。

如果与x 1和x 2确实不相关（并且真实关系已指定），那么您可以估计第二个方程式而不会出现问题。正如你提到的，β 3 X 3将被（新）误差项被吸收。只要所有其他OLS假设均成立，OLS估计将是无偏见的。$x_3$$x_1$$x_2$$\beta_3 x_3$