phi，Matthews和Pearson相关系数之间的关系

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phi和Matthews相关系数是同一概念吗？它们如何与两个二元变量的皮尔逊相关系数相关或等效？我假设二进制值为0和1。

两个伯努利随机变量和之间的皮尔逊相关性是： $x$ $y$

ρ = \frac{E [(x - E [x]) (y - E [y])]}{\sqrt{Var [x] Var [y]}} = \frac{E [x y] - E [x] E [y]}{\sqrt{Var [x] Var [y]}} = \frac{n_{11} n - n_{1 ∙} n_{∙ 1}}{\sqrt{n_{0 ∙} n_{1 ∙} n_{∙ 0} n_{∙ 1}}}

$\rho = \frac{\mathbb{E} [(x - \mathbb{E}[x])(y - \mathbb{E}[y])]} {\sqrt{\text{Var}[x] \, \text{Var}[y]}} = \frac{\mathbb{E} [xy] - \mathbb{E}[x] \, \mathbb{E}[y]}{\sqrt{\text{Var}[x] \, \text{Var}[y]}} = \frac{n_{1 1} n - n_{1\bullet} n_{\bullet 1}}{\sqrt{n_{0\bullet}n_{1\bullet} n_{\bullet 0}n_{\bullet 1}}}$

哪里

E [x] = \frac{n_{1 ∙}}{n} Var [x] = \frac{n_{0 ∙} n_{1 ∙}}{n^{2}} E [y] = \frac{n_{∙ 1}}{n} Var [y] = \frac{n_{∙ 0} n_{∙ 1}}{n^{2}} E [x y] = \frac{n_{11}}{n}

$\mathbb{E}[x] = \frac{n_{1\bullet}}{n} \quad \text{Var}[x] = \frac{n_{0\bullet}n_{1\bullet}}{n^2} \quad \mathbb{E}[y] = \frac{n_{\bullet 1}}{n} \quad \text{Var}[y] = \frac{n_{\bullet 0}n_{\bullet 1}}{n^2} \quad \mathbb{E}[xy] = \frac{n_{11}}{n}$

维基百科的Phi系数：

在统计学中，披系数（也被称为“均方应变系数”和表示为或）是关联的用于通过皮尔逊引入两个二进制变量的测量值。此度量在解释上类似于Pearson相关系数。实际上，为两个二进制变量估算的皮尔逊相关系数将返回phi系数 ... $\phi$ $r_\phi$

如果我们有一个2×2的表用于两个随机变量和 $x$ $y$

描述和的关联的phi系数为 $x$ $y$
$ϕ = \frac{n_{11} n_{00} - n_{10} n_{01}}{\sqrt{n_{1 ∙} n_{0 ∙} n_{∙ 0} n_{∙ 1}}}$ $\phi = \frac{n_{11}n_{00} - n_{10}n_{01}}{\sqrt{n_{1\bullet}n_{0\bullet}n_{\bullet0}n_{\bullet1}}}$

维基百科的Matthews相关系数：

Matthews相关系数（MCC）可以使用以下公式直接从混淆矩阵中计算：
$MCC = \frac{T P \times T N - F P \times F N}{\sqrt{(T P + F P) (T P + F N) (T N + F P) (T N + F N)}}$ $\text{MCC} = \frac{ TP \times TN - FP \times FN } {\sqrt{ (TP + FP) (TP + FN) (TN + FP) (TN + FN) } }$
在该等式中，TP是真阳性的数量，TN是真阴性的数量，FP是假阳性的数量，FN是假阴性的数量。如果分母的四个和中的任何一个为零，则分母可以任意设置为一个；这导致马修斯相关系数为零，这可以证明是正确的极限值。

— 提姆
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是的，它们是相同的。马修斯相关系数只是皮尔逊相关系数在混淆表中的一种特殊应用。

列联表只是基础数据的摘要。您可以将其从列联表中显示的计数转换回每个观察值一行。

考虑一下Wikipedia文章中使用的示例混淆矩阵，其中包含5个真实肯定，17个真实否定，2个虚假肯定和3个虚假否定

> matrix(c(5,3,2,17), nrow=2, byrow=TRUE)
     [,1] [,2]
[1,]    5    3
[2,]    2   17
> 
> # Matthews correlation coefficient directly from the Wikipedia formula
> (5*17-3*2) / sqrt((5+3)*(5+2)*(17+3)*(17+2))
[1] 0.5415534
> 
> 
> # Convert this into a long form binary variable and find the correlation coefficient
> conf.m <- data.frame(
+ X1=rep(c(0,1,0,1), c(5,3,2,17)),
+ X2=rep(c(0,0,1,1), c(5,3,2,17)))
> conf.m # what does that look like?
   X1 X2
1   0  0
2   0  0
3   0  0
4   0  0
5   0  0
6   1  0
7   1  0
8   1  0
9   0  1
10  0  1
11  1  1
12  1  1
13  1  1
14  1  1
15  1  1
16  1  1
17  1  1
18  1  1
19  1  1
20  1  1
21  1  1
22  1  1
23  1  1
24  1  1
25  1  1
26  1  1
27  1  1
> cor(conf.m)
          X1        X2
X1 1.0000000 0.5415534
X2 0.5415534 1.0000000

— 彼得·埃利斯
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谢谢，彼得！在数学上，对于两个二进制随机变量，为什么phi和Mathew等效于Pearson？

— 蒂姆（Tim）

如果您采用皮尔森相关性的定义并对其进行处理，以使其引用计数而不是单个观察值与均值之间的差之和，那么您将获得马修斯公式。我实际上尚未执行此操作，但是必须相当简单明了。

— 彼得·埃利斯

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$\mathbb{E}[xy]$ $\displaystyle \frac{n_{\bullet 1}n_{1\bullet}}{n^2}$

\frac{n_{11}}{n} \times 1 \times 1 + \frac{n_{10}}{n} \times 1 \times 0 + \frac{n_{01}}{n} \times 0 \times 1 + \frac{n_{00}}{n} \times 0 \times 0 = \frac{n_{11}}{n}

$\frac{n_{11}}{n} \times 1 \times 1 + \frac{n_{10}}{n}\times 1 \times 0 + \frac{n_{01}}{n} \times 0 \times 1 + \frac{n_{00}}{n} \times 0 \times 0 = \frac{n_{11}}{n}$

$\rho = \phi$

n_{11} n - n_{1 ∙} n_{∙ 1} = n_{11} (n_{01} + n_{10} + n_{11} + n_{00}) - (n_{11} + n_{10}) (n_{11} + n_{01}) = n_{11} n_{00} - n_{10} n_{01}

$n_{11} n - n_{1\bullet} n_{\bullet 1} = n_{11} (n_{01} + n_{10} + n_{11} + n_{00}) - (n_{11} + n_{10}) (n_{11} + n_{01}) \\ = n_{11} n_{00} - n_{10} n_{01}$

— 瑞恩·TT
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