为什么控制FDR不如控制FWER严格？

我已经读到，控制FDR比控制FWER宽松，例如在Wikipedia中：

与家庭错误率（FWER）过程（例如Bonferroni校正）相比，FDR控制过程对错误发现的控制不太严格。这以增加I型错误率的代价为代价来增加功率，即拒绝应该接受的无效无效假设。

但是我想知道它在数学上如何被证明是正确的？

FDR和FWER之间是否存在某些关系？

hypothesis-testing multiple-comparisons false-discovery-rate

— 所有的StackExchange
source

你读过原论文吗？在统计文件中，这是人们最希望得到的一切：一个基本概念，一个清晰简洁的故事，一个有用的例子以及（简短的）准确证据。

— 主教

的确，@ cardinal的观点是正确的，因为该论文尽可能清晰。因此，就您所拥有的价值而言，如果您无权访问该论文，以下是本杰米尼·霍奇伯格的观点的详尽阐述：

FDR 是错误拒绝与所有拒绝的比例的期望值。现在，很明显是错误拒绝与正确拒绝的总和。称后者为。 $Q_e$ $v$ $r$ $r$ $s$

总之，（将大写字母用于随机变量，将小写字母用于实现值），

Q_{e} = E (\frac{V}{R}) = E (\frac{V}{V + S}) =: E (Q) .

$Q_e=E\left(\frac{V}{R}\right)=E\left(\frac{V}{V+S}\right)=:E\left(Q\right).$

一个取如果。 $Q=0$ $R=0$

现在，有两种可能性：要么所有 null都为真，要么只是个为真。在第一种情况下，不能有正确的拒绝，因此。因此，如果有任何被拒绝（），，否则。因此， $m$ $m_0<m$ $r=v$ $r\geq 1$ $q=1$ $q=0$

F D R = E (Q) = 1 \cdot P (Q = 1) + 0 \cdot P (Q = 0) = P (Q = 1) = P (V \geq 1) = F W E R

$\newcommand{\FDR}{\mathrm{FDR}}\newcommand{\FWER}{\mathrm{FWER}}\FDR=E(Q)=1\cdot P(Q=1)+0\cdot P(Q=0)=P(Q=1)=P(V \geq 1)=\FWER$

因此，在这种情况下，，使得任何控制也都可以控制，反之亦然。 $\FDR=\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

在第二种情况下，其中，如果（因此，如果存在至少一个错误拒绝），我们显然有（这是与也分数，在分母）。这意味着指示器函数，它的值为1，如果存在至少一个错误拒绝，永远不会小于，。现在，对不等式的两边都期望，因为的单调性使不等式完整无缺， $m_0<m$ $v>0$ $v$ $v/r\leq 1$ $\mathbf 1_{V\geq 1}$ $Q$ $\mathbf 1_{V\geq 1}\geq Q$ $E$

E (1_{V \geq 1}) \geq E (Q) = F D R

$E(\mathbf 1_{V\geq 1})\geq E(Q)=\FDR$

指示器功能是在指示器事件的概率的预期值，我们有，而这又是。 $E(\mathbf 1_{V\geq 1})=P(V\geq 1)$ $\FWER$

因此，当我们有一个程序，控制在这个意义上，，就必须有一个。 $\FWER$ $\FWER\leq \alpha$ $\FDR\leq\alpha$

相反，将控制在某个可能会带来更大的。从直觉，在可能测试的大量假设总数中接受错误拒绝（）的非零预期分数可能意味着至少一个错误拒绝（）的可能性很高。 $\FDR$ $\alpha$ $\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

因此，当只需要控制时，程序就那么严格了，这对电源也有好处。这与任何基本假设检验中的想法相同：在5％的水平进行测试时，您拒绝（正确和错误的空值）的频率要比在1％的水平进行测试时更频繁，这仅仅是因为临界值较小。 $\FDR$

— 克里斯多夫·汉克
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（+1）良好的阐述。显然，在第一种情况下，我们还可以说FWER控制意味着FDR控制（这是有问题的）。另外，可能值得指出的是，与原始论文中给出的用于控制FDR的过程不同，该属性在测试统计数据上没有分布假设（例如，独立性）。

— 红衣主教