累积危害函数的直觉（生存分析）

17

我试图对精算科学的每个主要功能（特别是对于Cox比例危害模型）有所了解。这是我到目前为止的内容：

$f(x)$ ：从开始的时间开始，到您死亡的概率分布。
$F(x)$ ：仅累积分布。在时间 $T$ ，将有百分之几的人口死亡？
$S(x)$ ： $1-F(x)$ 。在时间 $T$ ，人口中还活着的百分比是多少？
$h(x)$ ：危险函数。在给定的时间 $T$ ，仍然活着的人中，这可以用来估计在下一个时间间隔内将有多少人死亡，或者如果时间间隔-> 0，则是“瞬时”死亡概率。
$H(x)$ ：累积危害。不知道。

组合危险值（尤其是连续危险值）的背后是什么想法？如果我们使用一个离散的例子来说明四个季节的死亡率，那么危害函数如下：

从春季开始，每个人都还活着，有20％会死亡
现在在夏天，剩下的人中有50％会死
现在在秋天，剩下的人中有75％将死
最后的季节是冬天。在剩下的人中，有100％将死

那么累积危害是20％，70％，145％，245％？这是什么意思，为什么有用？

probability survival hazard

— 乔恩
source

1

您的

T

$T$ 应该是

x

$x$ ，反之亦然。

— Glen_b-恢复莫妮卡

5

关于

，您有一个错误（尽管这是很常见的混淆）。您写的是“ interval-> 0，'瞬时'死亡概率”。正确的说法是“瞬间死亡速度 ”。这不可能是概率，因为它是概率除以

。此外，它可能> 1。

h (x)

$h(x)$

d t

$dt$

— gung-恢复莫妮卡

6

像你这样死亡的比例组合并不会给你带来累积的危害。连续时间内的危险率是在很短的间隔内发生事件的条件概率：

h (t) = lim_{Δ t \to 0} \frac{P (t < T \leq t + Δ t | T > t)}{Δ t}

$h(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac {P(t<T \le t + \Delta t | T >t)} {\Delta t}$

累积危害是随年龄/时间累积的（瞬时）危害率。这就像概率总结，但由于是非常小的，这些概率也小的数字（例如死亡可能是0.004左右在大约30岁的危险率）。危险率取决于之前是否没有经历过该事件，因此对于一个人群来说，危险总和可能超过1。 $\Delta t$ $t$

尽管这是一个离散时间公式，但您可能会查找一些人类死亡率寿命表，并尝试累积。 $m_x$

如果您使用R，这是一个根据每个1岁年龄段的死亡人数估算这些函数的小例子：

dx <-  c(3184L, 268L, 145L, 81L, 64L, 81L, 101L, 50L, 72L, 76L, 50L, 
         62L, 65L, 95L, 86L, 120L, 86L, 110L, 144L, 147L, 206L, 244L, 
         175L, 227L, 182L, 227L, 205L, 196L, 202L, 154L, 218L, 279L, 193L, 
         223L, 227L, 300L, 226L, 256L, 259L, 282L, 303L, 373L, 412L, 297L, 
         436L, 402L, 356L, 485L, 495L, 597L, 645L, 535L, 646L, 851L, 689L, 
         823L, 927L, 878L, 1036L, 1070L, 971L, 1225L, 1298L, 1539L, 1544L, 
         1673L, 1700L, 1909L, 2253L, 2388L, 2578L, 2353L, 2824L, 2909L, 
         2994L, 2970L, 2929L, 3401L, 3267L, 3411L, 3532L, 3090L, 3163L, 
         3060L, 2870L, 2650L, 2405L, 2143L, 1872L, 1601L, 1340L, 1095L, 
         872L, 677L, 512L, 376L, 268L, 186L, 125L, 81L, 51L, 31L, 18L, 
         11L, 6L, 3L, 2L)

x <- 0:(length(dx)-1) # age vector

plot((dx/sum(dx))/(1-cumsum(dx/sum(dx))), t="l", xlab="age", ylab="h(t)", 
     main="h(t)", log="y")
plot(cumsum((dx/sum(dx))/(1-cumsum(dx/sum(dx)))), t="l", xlab="age", ylab="H(t)", 
     main="H(t)")

希望这可以帮助。

— 马丁
source

说h（t）* dt是在t周围的长度dt内发生事件的概率是否正确？因此，值h（t）是事件在以t为中心的1个时间单位内发生的概率。仅当h（t）<= 1

— 乌鸦

10

Mario Cleves撰写的《使用Stata进行生存分析简介》（第二版）一书中有一个很好的章节。

您可以在Google图书中找到该章节，第。13-15。但我建议您阅读整章2。

这是简写形式：

“它度量了到时间t为止已经累计的风险总量”（第8页）
计算数据解释：“它给出了我们期望（在数学上）观察给定时间段内的故障（或其他事件）的次数，如果只有故障事件是可重复的”（第13页）

— 十一美元
source

5

我很_^危险，由于它在诊断图中的使用，因此值得一提：

（1）在Cox比例风险模型，其中， $h(x)=\mathrm{e}^{\beta^\mathrm{T} z}h_0(x)$ $\beta$ 和是系数并分别协变量矢量，＆是基线风险函数; ＆所以。如果您绘制的估计 $z$ $h_0(x)$ $\log H(x)=\beta^\mathrm{T} z + H_0(x)$ $\log \hat{H}(x)$ 相对于，假设比例风险假设正确，则不同的协变量模式遵循平行曲线。 $x$

（2）在Weibull模型中，其中和分别是比例和形状参数；＆所以。如果绘制估计 $h(x)=\frac{\alpha}{\theta}\left(\frac{x}{\theta}\right)^{\alpha-1}$ $\theta$ $\alpha$ $\log H(x) = \alpha \log x - \alpha \log \theta$ $\log \hat{H}(x)$ $\log x$ $\hat{\alpha}$ $-\hat{\alpha}\log\hat{\theta}$ ，前提是Weibull假设正确。当然，接近1的斜率表明可能适合指数模型。

$H(x)$ $x$

— Scortchi-恢复莫妮卡
source

3

在解释@Scortchi所说的内容时，我要强调的是，累积危害函数没有很好的解释，因此，我不会尝试将其用作解释结果的方法。告诉非统计研究人员累积的危害不同，很可能会得出“ mm-hm”的答案，然后他们再也不会以不好的方式再问这个问题了。

但是，累积危险函数在数学上被证明是非常有用的，例如将危险函数与生存函数联系起来的一般方法。因此，重要的是要知道累积危害是什么，以及如何将其用于各种统计方法。但是总的来说，我认为从累积危害的角度考虑真实数据并不是特别有用。

— 悬崖AB
source