k个相关随机变量乘积的方差

$k$ 相关随机变量乘积的方差是多少？

variance random-variable

Answers:

有关此主题的更多信息，可能超出您可能需要的知识，可以在Goodman（1962）中找到：“ K个随机变量乘积的方差”，该变量导出了独立随机变量和可能相关的随机变量的公式以及一些近似值。在早期的纸（古德曼，1960），整整两个随机变量的乘积公式推导，这是有些简单的（虽然仍然相当粗糙的），所以如果你想了解的推导，可能是一个更好的地方开始。

为了完整起见，它就像这样。

两个变量

假设以下内容：

和是两个随机变量 $x$ $y$
和是他们（非零）的期望 $X$ $Y$
和是它们的方差 $V(x)$ $V(y)$
（同样地为） $\delta_x = (x-X)/X$ $\delta_y$
$D_{i,j} = E \left[ (\delta_x)^i (\delta_y)^j\right]$
（同样地为） $\Delta_x = x-X$ $\Delta_y$
$E_{i,j} = E\left[(\Delta_x)^i (\Delta_y)^j\right]$
是变异系数的平方：（对于同样） $G(x)$ $V(x)/X^2$ $G(Y)$

那么：或等效的：

V (x y) = (X Y)^{2} [G (y) + G (x) + 2 D_{1, 1} + 2 D_{1, 2} + 2 D_{2, 1} + D_{2, 2} - D_{1, 1}^{2}]

$V(xy) = (XY)^2[G(y) + G(x) + 2D_{1,1} + 2D_{1,2} + 2D_{2,1} + D_{2,2} - D_{1,1}^2]$

V (x y) = X^{2} V (y) + Y^{2} V (x) + 2 X Y E_{1, 1} + 2 X E_{1, 2} + 2 Y E_{2, 1} + E_{2, 2} - E_{1, 1}^{2}

$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2$

超过两个变量

1960年的论文建议读者进行此练习（这似乎激发了1962年的论文！）。

表示法类似，但有一些扩展：

是随机变量，而不是和 $(x_1, x_2, \ldots x_n)$ $x$ $y$
$M = E\left( \prod_{i=1}^k x_i \right)$
$A = \left(M / \prod_{i=1}^k X_i\right) - 1$
= 0，1，或2 $s_i$ $i = 1, 2, \ldots k$
=在中1的个数 $u$ $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
= 2的个数，单位为 $m$ $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
对于和对于， $D(u,m) = 2^u - 2$ $m=0$ $2^u$ $m>1$
$C(s_1, s_2, \ldots, s_k) = D(u,m) \cdot E \left( \prod_{i=1}^k \delta_{x_i}^{s_i} \right)$
指示的求和套其中 $\sum_{s_1 \cdots s_k}$ $3^k - k -1$ $(s_1, s_2, \ldots s_k)$ $2m + u > 1$

然后，终于：

V (\prod_{i = 1}^{k} x_{i}) = \prod X_{i}^{2} (\sum_{s_{1} \dots s_{k}} C (s_{1}, s_{2} \dots s_{k}) - A^{2})

$V\left(\prod_{i=1}^k x_i\right) = \prod X_i^2 \left( \sum_{s_1 \cdots s_k} C(s_1, s_2 \ldots s_k) - A^2\right)$

有关详细信息和更易处理的近似信息，请参见文件！

— 马特·克劳斯（Matt Krause）
source

请注意，以上来自Matt Krause的回答包含错误以及论文本身。在函数C（s1，...，sk）的定义中，它应该是乘积而不是总和。

— Nicolas Gisler

您能详细说明一下吗？“因为我-来自互联网的匿名人士-这么说”并不是真正的答案……

— 蒂姆

如果您尝试获取独立随机变量的方差var（x * y），则通过任意k的公式，您会看到只有乘积而不是总和才能给出正确的答案。另外，如果您查看该论文，您也可以看到它，在论文的第59页（至少在我的版本中），他使用的是乘积而不是总和。

— Nicolas Gisler

V (x y) = X^{2} V (y) + Y^{2} V (x) + 2 X Y E_{1, 1} + 2 X E_{1, 2} + 2 Y E_{2, 1} + E_{2, 2} - E_{1, 1}^{2},

$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2,$

(x^{2}, y^{2})

$(x^2,y^2)$

确实应该是评论的编辑建议表明，原始论文包含一个错别字，其中将金额和乘积混合在一起，应修改此答案。参见stats.stackexchange.com/review/suggested-edits/83662

— Silverfish

\begin{aligned} E_{1, 1} & = E [(x - E [x]) (y - E [y])] = C o v (x, y) = 0 \\ E_{1, 2} & = E [(x - E [x]) (y - E [y])^{2}] \\ = E [x - E (x)] E [(y - E [y])^{2}] \\ = (E [x] - E [x]) E [(y - E [y])^{2}] = 0 \\ E_{2, 1} & = 0 \\ E_{2, 2} & = E [(x - E [x])^{2} (y - E [y])^{2}] \\ = E [(x - E [x])^{2}] E [(y - E [y])^{2} \\ = V [x] V [y] \\ V [x y] & = E [x]^{2} V [y] + E [y]^{2} V [x] + V [x] V [y] \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{split} E_{1,1} &= E[(x-E[x])(y-E[y])] = Cov(x,y) = 0\\ E_{1,2} &= E[(x-E[x])(y-E[y])^2] \\ &= E[x-E(x)]E[(y-E[y])^2] \\ &= (E[x]-E[x])E[(y-E[y])^2]=0\\ E_{2,1} &= 0\\ E_{2,2} &= E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]\\ &= E[(x-E[x])^2]E[(y-E[y])^2\\ &= V[x]V[y]\\ V[xy] &= E[x]^2 V[y] + E[y]^2 V[x] + V[x]V[y] \end{split} \end{equation*}$

— 阿南达
source

n

$n$

除了Matt给出的一般公式外，可能还有一点值得注意，即零均值高斯随机变量的公式更为明确。它遵循Isserlis定理，另请参见中心多元正态分布的高阶矩。

$(x_1, \ldots, x_k)$ $\Sigma$ $k$ $E\left(\prod_i x_i\right) = 0$

V (\prod_{i} x_{i}) = E (\prod_{i} x_{i}^{2}) = \sum \prod {\tilde{Σ}}_{i, j}

$V\left(\prod_i x_i\right) = E\left( \prod_i x_i^2\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j}$

Σ \prod

$\Sigma \prod$

{1, \dots, 2 k}

$\{1, \ldots, 2k\}$

k

$k$

{i, j}

$\{i, j\}$

k

$k$

{\tilde{Σ}}_{i, j}

$\tilde{\Sigma}_{i,j}$

\tilde{Σ} = (\begin{array}{cc} Σ & Σ \\ Σ & Σ \end{array})

$\tilde{\Sigma} = \left( \begin{array}{cc} \Sigma & \Sigma \\ \Sigma & \Sigma \end{array} \right)$

(x_{1}, \dots, x_{k}, x_{1}, \dots, x_{k})

$(x_1, \ldots, x_k, x_1, \ldots, x_k)$

k

$k$

V (\prod_{i} x_{i}) = \sum \prod {\tilde{Σ}}_{i, j} - {(\sum \prod Σ_{i, j})}^{2} .

$V\left(\prod_i x_i\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j} - \left(\sum \prod \Sigma_{i,j}\right)^2.$

k = 2

$k = 2$

V (x_{1} x_{2}) = Σ_{1, 1} Σ_{2, 2} + 2 (Σ_{1, 2})^{2} - Σ_{1, 2}^{2} = Σ_{1, 1} Σ_{2, 2} + (Σ_{1, 2})^{2} .

$V(x_1x_2) = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + 2 (\Sigma_{1,2})^2 - \Sigma_{1,2}^2 = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + (\Sigma_{1,2})^2.$

k = 3

$k = 3$

V (x_{1} x_{2} x_{3}) = \sum Σ_{i, j} Σ_{k, l} Σ_{r, t},

$V(x_1x_2x_3) = \sum \Sigma_{i,j}\Sigma_{k,l}\Sigma_{r,t},$

setpartspartitions $k = 8$ $k = 9$ $k = 10$

$k = 2$ $k$

— NRH
source

O (3^{k})

$O(3^k)$