t检验和单向方差分析是否都是Wald检验？

通过用费希尔在样本均值处的正态分布信息估算样本均值的标准偏差，可以将用于检验正态分布样本均值是否等于常数的t检验称为Wald检验。但是t检验中的检验统计量具有学生t分布，而Wald检验中的检验统计量渐近具有卡方分布。我想知道如何解释吗？

在单向方差分析中，检验统计量定义为类间差异与类内差异之间的比率。我想知道这是否也是Wald测试？但是单向方差分析中的检验统计量具有F分布，而Wald检验中的检验统计量渐近地具有卡方分布。我想知道如何解释吗？

感谢致敬！

请考虑以下设置。我们有一个维参数向量θ指定型号完全和最大似然估计θ。θ中的Fisher信息表示为I （θ ）。通常称为Wald统计量的是$p$$\theta$$\hat{\theta}$$\theta$$I(\theta)$

$$(\hat{\theta} - \theta)^T I(\hat{\theta}) (\hat{\theta} - \theta)$$

其中是在最大似然估计评价Fisher信息。下规律性条件Wald统计如下渐近一个χ 2 -配送与p自由度-degrees当θ是真实参数。Wald统计可以被用来测试一个简单假设ħ 0：θ = θ 0对整个参数向量。$I(\hat{\theta})$$\chi^2$$p$$\theta$$H_0 : \theta = \theta_0$

当$\Sigma(\theta) = I(\theta)^{-1}$逆Fisher信息的假设的Wald检验统计量是 （θ 1 - θ 0 ，1）$H_0 : \theta_1 = \theta_{0,1}$ 它的渐近分布是χ2-配送用1个自由度。

$$\frac{(\hat{\theta}_1 - \theta_{0,1})^2}{\Sigma(\hat{\theta})_{ii}}.$$ $\chi^2$

对于普通型号 是平均的矢量和方差参数，测试如果Wald检验统计量 μ = μ 0是 Ñ （μ - μ 0 ）$\theta = (\mu, \sigma^2)$$\mu = \mu_0$ 与Ñ样本大小。这里σ2是的最大似然估计σ2（其中，你通过划分Ñ）。所述吨-test统计量是

$$\frac{n(\hat{\mu} - \mu_0)^2}{\hat{\sigma}^2}$$ $n$$\hat{\sigma}^2$$\sigma^2$$n$$t$ 其中S ^2是方差（你被划分的无偏估计ñ $$\frac{\sqrt{n}(\hat{\mu} - \mu_0)}{s}$$ $s^2$）。Wald检验统计量几乎但不完全等于 t检验统计量的平方，但当 n → ∞时，它们在渐近等价。平方吨 -test统计具有精确 ˚F （1 ，ñ - 1 ） -配送，其收敛于 χ 2 -配送用1自由度的 Ñ →交通∞。$n-1$$t$$n \to \infty$$t$$F(1, n-1)$$\chi^2$$n \to \infty$

关于单向方差分析中的检验也存在同样的情况。$F$

@NRH给出了一个很好的理论答案，这是一个旨在变得更简单，更直观的答案。

有正式的Wald检验（在NRH的答案中有描述），但我们也将检验参数视为估计参数及其假设值相对于在估计参数处估计的变化之间的差异称为Wald样式检验。因此，我们通常使用的t检验是Wald Style检验，即使它与确切的Wald检验略有不同（的差异）$n$$n-1$在平方根内）。我们甚至可以根据估计的中位数减去假设的中位数除以IQR的函数来设计Wald样式测试，但是我不知道它将遵循什么分布，最好使用自举，置换或模拟此测试的分布，而不是取决于卡方渐近线。方差分析的F检验也适合一般模式，分子可以认为是测量均值与总体均值之间的差异，而分母是变化的量度。

还要注意，如果对分布后跟随的随机变量求平方，则它将遵循F分布，分子的1 df，分母df将是t分布的分母。还要注意，分母为df的F分布是卡方分布。因此，这意味着t统计量（平方）和F统计量都像Wald统计量一样渐近地卡方。我们只是在实践中使用更精确的分布。