为什么对于任何给定的正态分布值，概率为零？

我注意到，在正态分布中，概率 $P(x=c)$ 等于零，而对于泊松分布，当 $c$ 为非负整数时，它将不等于零。

我的问题是：正态分布中任何常数的概率是否都为零，因为它表示任何曲线下的面积？还是仅需记住一条规则？

probability normal-distribution poisson-distribution

— 心理4物理
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连续分布与离散

— Glen_b-恢复莫妮卡

密切相关（略有不同的问题，基本上是相同的答案）：stats.stackexchange.com/questions/4220。

— Whuber

没有什么值得知道的只是“记住的规则”。

— 马修·德鲁里 Matthew Drury）

也许以下的思想实验可以帮助您更好地理解为什么连续分布中的概率为零的原因：想象一下，您有一个命运之轮。通常，轮子被划分为几个离散的扇区，大概20个左右。如果所有扇区都具有相同的面积，则您有的概率击中一个特定扇区（例如主价格）。所有概率之和为1，因为。更笼统：如果轮子上均匀分布有扇区，则每个扇区的概率为 $Pr(X=a)$ $1/20$ $20\cdot 1/20 = 1$ $m$ $1/m$ 被击中的概率（均等概率）。但是，如果我们决定将轮子划分为100万个扇区，将会发生什么。现在，命中一个特定部门（主要奖项）的概率非常小：。此外，请注意，理论上指针可以停在滚轮的无限多个位置。如果我们想为每个可能的停止点分别获得奖励，则必须将车轮划分为无数个相等面积的“扇区”（但每个扇区的面积均为0）。但是，我们应该为这些“部门”中的每个部门分配几率呢？它必须是零 $1/10^{6}$ 因为如果每个“部门”的概率为正且相等，则无限多个相等的正数之和就会发散，从而产生矛盾（总概率必须为1）。这就是为什么我们只能将interval的概率分配给车轮上的实际区域的原因。

更多的技术：在一个连续分布（例如连续均匀，正常，以及其他），概率由积分计算，作为一个区域的概率密度函数下以 $f(x)$ $a\leq b$ ）：但是长度为0的区间的面积为0。

P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) d x

$P(a\leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$

有关命运之轮的类比，请参阅此文档。

另一方面，泊松分布是离散的概率分布。随机泊松变量只能采用离散值（即，一个家庭的孩子数不能为1.25）。一个家庭生一个孩子的概率肯定不是零，而是正的。所有值的所有概率之和必须为1。其他著名的离散分布是：二项式，负二项式，几何，超几何以及许多其他分布。

— 酷色
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该论点在关键点上失败了：“无穷大的正数之和不是无限的”并非总是如此。泊松概率的顺序是一个反例！您可以通过合适的限定条件来解决此问题，例如指出无数个正数的总和（无论它们有多小）均会发散。

— ub

@whuber我认为这就是我写答案但未能正确制定答案时的意思。感谢您的注意。我希望现在是正确的。

— COOLSerdash

谢谢。但是，您仍然会引用一个错误的陈述：“无限多个正数之和发散”。作为反例，无限多个正泊松概率之和为

。

1

$1$

— whuber

@whuber现在我很困惑。这正是您在我的第一条评论中建议的提法：“ [...指出无数个正数的总和，无论它们有多小，都可能会发散”

— COOLSerdash

@whuber对，现在已经很清楚了。我在回答中添加了条件。再次感谢您指出。

— COOLSerdash

“连续随机变量（X）的概率被定义为其PDF曲线下的面积。因此，只有值范围可以具有非零概率。连续随机变量等于某个值的概率始终为零。” 参考页：http : //support.minitab.com/zh-cn/minitab-express/1/help-and-how-to/basic-statistics/probability-distributions/supporting-topics/basics/continuous-and-discrete -概率分布/

— 黄瑞
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