等价的零假设

假设是来自正态分布的简单随机样本。 $X_1, X_2, \, ... \, , X_n$ $(\mu,\sigma^2)$

我有兴趣进行以下假设检验：对于给定的常数。

H_{0} : | μ | \leq c H_{1} : | μ | > c,

$H_0: | \mu| \le c \\ H_1: |\mu| > c,$

c > 0

$c > 0$

我正在考虑以与通常的生物等效性测试情况类似的方式执行两个单侧检验（TOST），其中null为代替，但是我不知道这是否有意义或正确。 $t$ $|\mu| \ge c$

我的想法是执行单面测试和并且如果值之一小于显着性水平拒绝全局零假设。

H_{01} : μ \leq c H_{11} : μ > c

$H_{01} : \mu \le c \\ H_{11} : \mu > c$

H_{02} : μ \geq - c H_{12} : μ < - c,

$H_{02} : \mu \ge -c \\ H_{12} : \mu < -c,$

p

$p$

α

$\alpha$

提前致谢！

编辑：

我已经对此进行了思考，我认为我提出的方法没有显着性水平。 $\alpha$

假设的真值是和是已知的。 $\mu$ $\mu_0$ $\sigma^2$

在第一个测试中拒绝空值的概率为其中是正态分布的标准cdf，而是这样的值，使得。

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{01}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}),

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right),$

Φ

$\Phi$

z_{1 - α}

$z_{1-\alpha}$

Φ (z_{1 - α}) = 1 - α

$\Phi(z_{1-\alpha}) = 1-\alpha$

如果，则。然后，如果，。或者，如果，。 $\mu_0 = c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = \alpha$ $\mu_0 > c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) > \alpha$ $\mu_0 < c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) <\alpha$

在第二个测试中拒绝空值的概率为

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{02}) = Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}}) .

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right).$

再次，如果则具有。类似地，如果，。最后，如果，。 $\mu_0 = -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \alpha$ $\mu_0 > -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) < \alpha$ $\mu_0 < -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) > \alpha$

由于两个测试的拒绝区域是不相交的，因此拒绝的可能性为： $H_0$

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{0}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}) + Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}})

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_0) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right) + \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right)$

因此，如果，则是拒绝（全局）无效假设的可能性的上限。因此，我提出的方法过于宽松。 $\mu \in [-c,c]$ $2\alpha$

如果我没看错，我们可以通过执行相同的两个测试并在其中一个的值小于拒绝null 来达到的显着性水平。当方差未知并且我们需要应用检验时，也存在类似的论点。 $\alpha$ $p$ $\alpha/2$ $t$

— 维克101
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编辑在正确的轨道上：-)。

— whuber

非常有趣的问题！

您正在使用逻辑结果，即包含条件。这种包含条件构成了经典逻辑的基础，它保证了从前提推断或推论结果。

您的提案背后的原因如下：

如果包含，则观察到的数据应比得出更多的针对证据。 $H_0$ $H_0'$ $H_0$ $H_0'$

根据您的辅助假设和，我们有，也就是说，包含以及需要。因此，根据附带条件，与或相比，我们应观察到更多针对证据。然后，您得出结论，如果在或下计算的p值之一足够小，则在下计算的p值将更小。 $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{0} \equiv H_{01} \wedge H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{0}$ $H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_0$

但是，这种逻辑推理对p值无效，即p值不符合逻辑结果。每个p值都是在特定的零假设下建立的，因此，针对不同零假设的p值是在不同的指标下计算的。因此，p值不能遵守参数空间（或原假设的空间）上的逻辑推理。

Schervish（1996）和Patriota（2013）给出了p值违反蕴含条件的示例。在后一份文件从二元正态分布和从回归模型示出了实施例（见实施例5和6页1.1和1.2，分别地）。Eran Raviv针对双变量情况提供了R代码算法。从这些示例中学到的是：您必须直接为感兴趣的原假设计算p值。当且，Schervish（1996）为您的示例提供了一个p值公式，请参阅第204页的公式（2）。如果要计算p值，则必须将该公式用于你的情况。 $n=1$ $\sigma^2 = 1$

Patriota（2013）提出了一种新的证据量度，以检验尊重逻辑结果的一般零假设（复合或简单零假设）。该度量在本文中称为s值。对于您的示例，该过程相对简单：

为（渐近线）找到（1-）置信区间：，其中是样本平均值，是样本方差，是标准正态分布的分位数，是样本大小。 $\alpha$ $\mu$ $I(\mu, \alpha) = \bigg[\bar{x} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} \ ; \ \bar{x} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}}\bigg]$ $\bar{x}$ $s^2$ $z_{{\alpha}/{2}}$ ${\alpha}/{2}$ $n$
求出值，其的振幅最小，并且与至少有一个共同点（即的边界）。这是 -值。 $\alpha^*$ $I(\mu, \alpha^*)$ $\{-c, c\}$ $[-c,c]$ $\alpha^*$ $s$
一方面，如果，则观察到的样本正与零假设 ; 如果 -value足够小，则可以接受null。另一方面，如果，则观察到的样本正在提供针对原假设；如果 -value足够小，则可以拒绝null。否则，您不应拒绝或接受null。 $\bar{x} \in [-c,c]$ $H_0: |\mu|\leq c$ $s$ $\bar{x} \not \in [-c,c]$ $H_0$ $s$

请注意，如果且各自的值非常小，则意味着替代假设与最大可能值相距甚远。如果且各自的值非常小，则这意味着原假设与最大可能值相距甚远。尝试画出代表置信区间和感兴趣的零假设的图片，以更好地理解结论。有关更多信息，请阅读原始论文Patriota（2013）。 $\bar{x}\in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$ $\bar{x}\not \in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$

如何通过使用此值找到接受或拒绝null的客观阈值仍然是一个未解决的问题。这种方法很好，因为我们现在可以接受零假设。每当观察到的样本证实为零且距离替代样本很远时，这是有意义的。在您的示例中，可以看到，，且。很容易看到数据密度非常集中在（是标准误差的十倍）上。为了使非空与相交，需要99900标准错误。因此，这足以接受 $s$ $c = 1000$ $\bar{x} = 1$ $s^2 = 1$ $n=10000$ $[0.9, \ 1.1]$ $[-1000, \ 1000]$ $H_0: |\mu| \leq c$ 在这种情况下。

参考文献：

Patriota，AG（2013）。关于一般零假设的经典证据度量，模糊集和系统，233，74–88

Schervish，MJ（1996）。P值：什么是什么，什么不是，美国统计学家，第50卷，第203-206页。

— 亚历山大·帕特里奥塔
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