将正弦项拟合到数据

尽管我读了这篇文章，但我仍然不知道如何将其应用于我自己的数据，并希望有人能帮助我。

我有以下数据：

y <- c(11.622967, 12.006081, 11.760928, 12.246830, 12.052126, 12.346154, 12.039262, 12.362163, 12.009269, 11.260743, 10.950483, 10.522091,  9.346292,  7.014578,  6.981853,  7.197708,  7.035624,  6.785289, 7.134426,  8.338514,  8.723832, 10.276473, 10.602792, 11.031908, 11.364901, 11.687638, 11.947783, 12.228909, 11.918379, 12.343574, 12.046851, 12.316508, 12.147746, 12.136446, 11.744371,  8.317413, 8.790837, 10.139807,  7.019035,  7.541484,  7.199672,  9.090377,  7.532161,  8.156842,  9.329572, 9.991522, 10.036448, 10.797905)
t <- 18:65

现在我只想适合一个正弦波

$$y(t)=A\cdot sin(\omega t+\phi) +C.$$

与四个未知数，，和到它。ω φ $A$$\omega$$\phi$$C$

我的代码其余部分如下

res <- nls(y ~ A*sin(omega*t+phi)+C, data=data.frame(t,y), start=list(A=1,omega=1,phi=1,C=1))
co <- coef(res)

fit <- function(x, a, b, c, d) {a*sin(b*x+c)+d}

# Plot result
plot(x=t, y=y)
curve(fit(x, a=co["A"], b=co["omega"], c=co["phi"], d=co["C"]), add=TRUE ,lwd=2, col="steelblue")

但是结果确实很差。

非常感谢您的帮助。

干杯。

如果您只想对一个很好的估计，而不必关心它的标准错误：$\omega$

ssp <- spectrum(y)  
per <- 1/ssp$freq[ssp$spec==max(ssp$spec)]
reslm <- lm(y ~ sin(2*pi/per*t)+cos(2*pi/per*t))
summary(reslm)

rg <- diff(range(y))
plot(y~t,ylim=c(min(y)-0.1*rg,max(y)+0.1*rg))
lines(fitted(reslm)~t,col=4,lty=2)   # dashed blue line is sin fit

# including 2nd harmonic really improves the fit
reslm2 <- lm(y ~ sin(2*pi/per*t)+cos(2*pi/per*t)+sin(4*pi/per*t)+cos(4*pi/per*t))
summary(reslm2)
lines(fitted(reslm2)~t,col=3)    # solid green line is periodic with second harmonic

（更合适的位置可能仍会以某种方式解释该系列中的异常值，从而降低其影响力。）

---

如果您想了解中的不确定性，可以使用轮廓可能性（pdf1，pdf2-从轮廓可能性或其变体中获取近似CI或SE的引用并不难找到）$\omega$

（或者，您可以将这些估计值输入nls ...并开始已经收敛。）

正如@Stefan所建议的那样，不同的起始值似乎确实可以显着提高拟合度。我查看了一下数据，认为欧米茄应该为，因为这些峰看起来相隔约20个单位。$2 \pi / 20$

当我将其添加到nls的start列表中时，尽管它仍然存在一些系统偏差，但我得到的曲线要合理得多。

根据此数据集的目标，您可以尝试通过添加其他项或使用非参数方法（例如带有周期性核的高斯过程）来提高拟合度。

自动选择起始值

如果要选择主导频率，则可以使用快速傅立叶变换（FFT）。这超出了我的专业知识范围，因此，如果其他人愿意，我可以让他们填写详细信息（尤其是关于步骤2和3），但是R下面的代码应该可以工作。

# Step 1: do the FFT
raw.fft = fft(y)

# Step 2: drop anything past the N/2 - 1th element.
# This has something to do with the Nyquist-shannon limit, I believe
# (https://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem)
truncated.fft = raw.fft[seq(1, length(y)/2 - 1)]

# Step 3: drop the first element. It doesn't contain frequency information.
truncated.fft[1] = 0

# Step 4: the importance of each frequency corresponds to the absolute value of the FFT.
# The 2, pi, and length(y) ensure that omega is on the correct scale relative to t.
# Here, I set omega based on the largest value using which.max().
omega = which.max(abs(truncated.fft)) * 2 * pi / length(y)

您还可以绘图abs(truncated.fft)以查看是否还有其他重要的频率，但是您将不得不稍微调整x轴的缩放比例。

另外，我相信@Glen_b是正确的，一旦您知道omega（或者也许您也需要了解phi，这个问题就凸出来了？我不确定）。无论如何，了解其他参数的起始值并不会像omega一样重要。您可能可以从FFT得到其他参数的合理估计，但是我不确定这将如何工作。

作为已经说过的替代方案，可能值得注意的是，可以使用ARIMA模型类别的AR（2）模型来生成正弦波模式的预测。

AR（2）模型可以编写如下： 其中是常数，和是要估计的参数，而是随机冲击项。

$$\begin{equation} y_{t} = C + \phi_{1}y_{t-1} + \phi_{2}y_{t-2} + a_{t} \end{equation}$$ $C$$\phi_{1}$$\phi_{2}$$a_{t}$

现在，并不是所有的AR（2）模型都在其预测中产生正弦波模式（也称为随机周期），但是在满足以下条件时确实会发生：

$$\begin{equation} \phi_{1}^{2} + 4 \phi_{2} < 0. \end{equation}$$

Panratz（1991）告诉我们以下有关随机周期的信息：

随机周期模式可以认为是预测模式中的正弦波模式失真：它是具有随机（概率）周期，幅度和相位角的正弦波。

为了查看是否可以将这样的模型拟合到数据，我使用auto.arima()了预测包中的函数来找出它是否建议使用AR（2）模型。事实证明，该auto.arima()函数建议使用ARMA（2,2）模型。不是纯AR（2）模型，但这没关系。可以，因为ARMA（2,2）模型包含AR（2）组件，所以适用相同的规则（大约随机周期）。也就是说，我们仍然可以检查上述条件，看看是否会产生正弦波预测。

的结果auto.arima(y)如下所示。

Series: y 
ARIMA(2,0,2) with non-zero mean 

Coefficients:
         ar1      ar2      ma1     ma2  intercept
      1.7347  -0.8324  -1.2474  0.6918    10.2727
s.e.  0.1078   0.0981   0.1167  0.1911     0.5324

sigma^2 estimated as 0.6756:  log likelihood=-60.14
AIC=132.27   AICc=134.32   BIC=143.5

现在让我们检查一下条件： ，我们发现条件确实得到满足。

$$\begin{equation} \phi_{1}^{2} + 4 \phi_{2} < 0\\ 1.7347^{2} + 4 (-0.8324) < 0 \\ -0.3202914 < 0 \end{equation}$$

下图显示了原始序列y，ARMA（2,2）模型的拟合以及14个样本外的预测。可以看出，样本外预测遵循正弦波模式。

请记住两件事。1）这只是一个非常快速的分析（使用自动化工具），正确的处理将涉及遵循Box-Jenkins方法。2）ARIMA预测擅长短期预测，因此您可能会发现@David J. Harris和@Glen_b的答案中的模型提供的长期预测更为可靠。

最后，希望这是对已经非常有用的答案的很好补充。

参考：使用动态回归模型进行的预测：Alan Pankratz，1991年，（John Wiley and Sons，纽约），ISBN 0-471-61528-5

将正弦曲线拟合到给定数据集的当前方法需要先猜测参数，然后进行交互过程。这是一个非线性回归问题。借助便利的积分方程，可以将非线性回归转换为线性回归。这样，就不需要初始猜测，也不需要迭代过程：直接获得拟合。如果函数y = a + r * sin（w * x + phi）或y = a + b * sin（w * x）+ c * cos（w * x），请参见论文第35-36页在Scribd上发布的“Régressionsinusoidale”：http : //www.scribd.com/JJacquelin/documents 在函数y = a + p * x + r * sin（w * x + phi）的情况下：“线性和正弦混合回归”一章的第49-51页。对于更复杂的函数，一般过程在第54-61页的“广义正弦回归”一章中进行了说明，后面是数值示例y = r * sin（w * x + phi）+（b / x）+ c * ln（x），第62-63页

如果您知道余弦外观数据的最低和最高点，则可以使用以下简单函数来计算所有余弦系数：

getMyCosine <- function(lowest_point=c(pi,-1), highest_point=c(0,1)){
  cosine <- list(
    T = pi / abs(highest_point[1] - lowest_point[1]),
    b = - highest_point[1],
    k = (highest_point[2] + lowest_point[2]) / 2,
    A = (highest_point[2] - lowest_point[2]) / 2
  )
  return(cosine)
}

通过输入余弦函数的最低和最暖小时的小时数和温度值，可在下方使用余弦函数模拟全天温度的变化：

c <- getMyCosine(c(4,10),c(17,25)) 
# lowest temprature at 4:00 (10 degrees), highest at 17:00 (25 degrees)

x = seq(0,23,by=1);  y = c$A*cos(c$T*(x +c$b))+c$k ; 
library(ggplot2);   qplot(x,y,geom="step")

输出如下：

另一种选择是使用通用函数optim 或nls。我试过他们都不是完全健壮

以下函数获取y中的数据并计算参数。

calc.period <- function(y,t)
{     
   fs <- 1/(t[2]-t[1])
   ssp <- spectrum(y,plot=FALSE )  
   fN <- ssp$freq[which.max(ssp$spec)]
   per <- 1/(fN*fs)
   return(per)
 }

fit.sine<- function(y, t)
{ 
  data <- data.frame(x = as.vector(t), y=as.vector(y))
  min.RSS <- function (data, par){
    with(data, sum((par[1]*sin(2*pi*par[2]*x + par[3])+par[4]-y )^2))
  }  
  amp = sd(data$y)*2.**0.5
  offset = mean(data$y)
  fest <- 1/calc.period(y,t)
  guess = c( amp, fest,  0,   offset)
  #res <- optim(par=guess, fn = min.RSS, data=data ) 
  r<-nls(y~offset+A*sin(2*pi*f*t+phi), 
     start=list(A=amp, f=fest, phi=0, offset=offset))
  res <- list(par=as.vector(r$m$getPars()))
  return(res)
}

 genSine <- function(t, params)
     return( params[1]*sin(2*pi*params[2]*t+ params[3])+params[4])

用途如下：

t <- seq(0, 10, by = 0.01)
A <- 2 
f <- 1.5
phase <- 0.2432
offset <- -2

y <- A*sin(2*pi*f*t +phase)+offset + rnorm(length(t), mean=0, sd=0.2)

reslm1 <- fit.sine(y = y, t= t)

以下代码比较数据

ysin <- genSine(as.vector(t), params=reslm1$par)
ysin.cor <- genSine(as.vector(t), params=c(A, f, phase, offset))

plot(t, y)
lines(t, ysin, col=2)
lines(t, ysin.cor, col=3)