比较模型及其对数转换版本的AIC

我的问题的实质是：

让$Y \in \mathbb{R}^n$与平均值的多元正态随机变量$\mu$和协方差矩阵$\Sigma$。让$Z := \log(Y)$，即$Z_i = \log(Y_i), i \in \{1,\ldots,n\}$。如何比较适合观察到的实现模型的AIC $Y$与适合观察到的实现模型的AIC $Z$？

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我最初的问题和稍长的问题：

让$Y \sim \mathcal{N}(\mu,\Sigma)$是一个多变量正态随机变量。如果我想比较适合于$Y$的模型与适合对的模型$\log(Y)$，可以看看它们的对数似然性。但是，由于这些模型不是嵌套的，因此我无法直接比较对数可能性（以及诸如AIC之类的东西），但必须对其进行转换。

我知道如果$X_1,\ldots,X_n$是具有联合pdf 随机变量，$g(x_1,\ldots,x_n)$并且$Y_i = t_i(X_1,\ldots,X_n)$进行一对一转换$t_i$和$i \in \{1,\ldots,n\}$，则PDF的$Y_1,\ldots,Y_n$其中 J是与变换关联的雅可比行列式。

$$f(y_1,\ldots,y_n)=g(t_1^{-1}(y),\ldots,t_n^{-1}(y))\det(J)$$ $J$

我是否只需要使用转换规则进行比较

到 l （log （Y ））= log （n ∏ i = 1 ϕ （log （y i）; μ ，Σ ）

$$l(Y) = \log(\prod_{i=1}^{n}\phi(y_i;\mu,\Sigma))$$ $$l(\log(Y))=\log(\prod_{i=1}^{n}\phi(\log(y_i);\mu,\Sigma))$$

还是我还能做些什么？

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[edit]忘记将对数放在最后两个表达式中。

当拟合两个不同的数据集和Z时，您无法比较AIC或BIC 。仅当适合同一数据集时，才可以比较两个基于AIC或BIC的模型。看一看模型选择和多模型推理：一种实用的信息理论方法（Burnham和Anderson，2004年）。他们在第81页（第2.11.3节“响应变量的转换”）中提到了我的答案：$Y$$Z$

研究人员应确保所有假设都使用相同的响应变量建模（例如，如果整个模型集均基于log（y），则不会出现问题；这是因为响应变量混合不正确）。

顺便说一句，对于使用AIC或BIC标准，您的模型不必一定是嵌套的（参考文献，第88页，第2.12.4节非嵌套模型），实际上，这就是使用BIC的优点之一。

$log\{y(n)+1\}$$\cdot \sum log\{y(n)+1\}$$n = 1,2, ..., N$

Akaike，H.，1978年。“关于时间序列模型的可能性”，《皇家统计学会杂志》，D系列（统计学家），第27（3/4）页，第217–235页。