欧几里得模上的尾边界，用于在

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关于统一选择元素的欧几里得范数多久的已知上限 $\:\{-n,~-(n-1),~...,~n-1,~n\}^d\:$ 将大于给定的阈值？

我主要对当 $n$ 远小于时以指数收敛到零的范围感兴趣 $d$ 。

uniform extreme-value bounds

这是很容易回答的阈值

--you're只是计算超球的体积-但更难以制定出

。您是否遇到上述两种情况？

t \leq n

$t\le n$

t > n

$t \gt n$

— ub

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我会需要

t > n

$\: t > n \;\;$ 。

$\;\;\;\;$

— Ricky Demer

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我目前没有时间发布详细的答案，但是与此同时，这是一个提示：使用标准Chernoff界技术将

与具有相同均值的二项式随机变量进行比较。这将产生一个结合的形式的

为适当的

和

提供

\sum_{k} (X_{k} / n)^{2}

$\sum_k (X_k/n)^2$

a^{d} e^{- b t^{2}}

$a^d e^{-b t^2}$

a

$a$

b

$b$

，这是有意义的，一旦您考虑平方欧几里德距离的平均值是多少。希望对您有所帮助。

t > n \sqrt{d (n + 1) / 3 n}

$t > n \sqrt{d (n+1)/3n}$

— 2013年

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凭直觉，很明显，由于维数的诅咒，从均匀分布中随机采样坐标的点应具有较小的模量。作为 $d$ 的增加，在其从所述的体积随机取样的点的概率维单位球将具有距离小于或等于从中心是，它呈指数下降快。 $d$ $\epsilon$ $\epsilon^{d}$

我将提供红衣主教解决方案的完整版本。

让是离散的一个独立的副本，均匀分布在所述整数。显然，，并且很容易计算出 $X_i$ $-n \leqslant k \leqslant n$ $\mathbb{E}[X] = 0$ $\text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

回想一下，和 $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + \mathbb{E}[X_i]^2$ $\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2$

因此， $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2 = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 1)}{15} - \left( \frac{n(n+1)}{3} \right)^2$

计算 $\mathbb{E}[X_i^4]$

设 $Y_i = X_i^2$

\sum_{i = 1}^{d} Y_{i} = (Distance of Randomly Sampled Point to Origin)^{2}

$\sum_{i=1}^d Y_i = (\text{Distance of Randomly Sampled Point to Origin})^2$

我明天会结束，但是您可以看到该变量的平均值约为，而少于的点的距离小于最大距离一半 $\frac{n^2}{3}$ $2^{-d}$ $\frac{dn^2}{2}$

— 迈克尔·K
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如果所有在遵循独立的离散均匀性，则由于有值可供选择，并且它们的均值为0，因此对于所有，我们都具有： $X_i$ $[-n, n]$ $2n+1$ $i$

，并且 $\mathbb{E}(X_i)= 0$

$\mathbb{V}(X_i)= \mathbb{E}\left((X_i - \mathbb{E}(X_i))^2\right)= \mathbb{E}(X_i^2)= \frac{(2n+1)^2 - 1}{12}= \frac{n(n+1)}{3}$

然后，如果是向量的平方欧几里德范数，并且由于独立的： $S$ $(X_1, X_2, ... X_d)$ $X_i$

$S= \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S)= \sum_{i=1}^d \mathbb{E}(X_i^2) = d \frac{n(n+1)}{3}$

从这里你可以使用Markov不等式： $\forall a >0, \mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{1}{a}\mathbb{E}(S)$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{d}{a}\frac{n(n+1)}{3}$

该界限随增大，这是正常的，因为当变大时，与固定阈值相比，欧氏范数变大。 $d$ $d$ $a$

现在，如果将定义为“归一化”平方范数（无论如何，期望值都相同） $S^*$ $d$ ），您将得到：

$S^*= \frac{1}{d} Y = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S^*) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{n(n+1)}{3a}$

至少这个界限不会随着，但仍远您对指数减小界限的追求！我想知道这是否可以归因于马尔可夫不等式的弱点... $d$

我认为您应该解决这个问题，因为如上所述，向量的平均欧几里德范数在线性上升，因此您不太可能找到在以固定阈值减小的的上限。 $d$ $\mathbb{P}(S > a)$ $d$ $a$

— 巨宝
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