Fisher信息矩阵的存在条件

不同的教科书列举了Fisher信息矩阵存在的不同条件。下面列出了几种这样的条件，每种条件都出现在“ Fisher信息矩阵”的某些但不是全部定义中。

1. 是否有一套标准的，最少的条件？
2. 在以下5个条件中，可以消除哪些条件？
3. 如果可以消除其中一个条件，那么您为什么认为它首先包含在其中？
4. 如果不能消除其中一个条件，是否意味着那些未指定条件的教科书给出了错误的定义，或者至少是不完整的定义？

1. Zacks，《统计推断理论》（1971年），第1页。194. 对于所有
   ，矩阵是正定的。 $\mathcal{I}\left(\theta\right)$$\theta\in\Theta$
2. 谢尔维什，《统计理论》（1997年，第二版，更正），定义2.78，第2页。111
   集合对于所有都是相同的。 $C=\left\{x:f\left(x;\theta\right)>0\right\}$$\theta$
3. Borovkov，《数学统计》（1998年）。p。147 wrt是连续可微的。
   $f\left(x;\theta\right)$$\theta_i$
4. Borovkov，《数学统计》（1998年）。p。147 是连续且可逆的。
   $\mathcal{I}\left(\theta\right)$
5. Gourieroux＆Monfort，《统计与计量经济学模型》，第一卷（1995）。定义（a），第81-82页 存在
   $\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}f\left(x;\theta\right)$

相比之下，这是雷曼兄弟（Lehman＆Cassella）的条件的完整列表。点估计理论（1998）。p。124：

1. $\Theta$是一个开放区间（有限，无限或半无限）
2. 对于所有 ，集合是相同的。 $C=\left\{x:f\left(x,\theta\right)>0\right\}$$\theta\in\Theta$
3. $\frac{\partial f\left(x;\theta\right)}{\partial\theta_i}$存在且是有限的。

这是Barra（1971年，数学的国家统计概念）中的条件的完整列表。第1页，定义1。35：

该得分为定义的所有，每个组件是平方可积，并且具有一体。 $\theta\in\Theta$$=0$

有趣的是，雷曼兄弟（Lehman＆Cassella）和巴拉（Barra）都没有规定在每个的整数符号下是可区分的。我调查过的大多数其他教科书中都出现这种情况。 $\int f\left(x;\theta\right)\space \mu\left(dx\right)$$\theta_i$

我无权访问所有参考资料，但我想对您的一些观点指出几点：

• Borovkov，《数学统计》（1998年）。p。140提出了另一个假设，即条件（R），该假设相当强。此条件假定。然后，作者基本上假设Fisher信息矩阵（FIM）的每个条目都是定义明确的。$E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]<\infty$

• 积分和微分算子假设的双重可微性和可交换性被用来推导等式。这种平等通常是有帮助的，但并非绝对必要。$E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]=-E[\partial^2\log f(x;\theta)/\partial\theta^2]$

• 不丢弃某些FIM实际存在的模型，就很难为FIM的存在建立一般条件。例如，可区分性条件不是FIM存在的必要条件。一个例子是双指数模型或拉普拉斯模型。相应的FIM定义明确，但在该模式下密度并没有太大的差别。其他一些可区分的模型具有不良的FIM，并需要一些附加条件（请参阅本文）。

可能会提出非常普遍的充分条件，但条件可能太严格。FIM存在的必要条件尚未得到充分研究。然后，第一个问题的答案可能并不简单。