具有已知断点的分段线性回归中斜率的标准误差

情况

我有一个具有一个因变量和一个独立变量的数据集。我想用出现在已知/固定断点拟合连续分段线性回归。已知breakpoins没有不确定性，所以我不想估计它们。然后，我拟合以下形式的回归（OLS）： 这是$y$$x$$k$$(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k})$

set.seed(123)
x <- c(1:10, 13:22)
y <- numeric(20)
y[1:10] <- 20:11 + rnorm(10, 0, 1.5)
y[11:20] <- seq(11, 15, len=10) + rnorm(10, 0, 2)

假设断点出现在：$k_1$$9.6$

mod <- lm(y~x+I(pmax(x-9.6, 0)))
summary(mod)

Coefficients:
                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)          21.7057     1.1726  18.511 1.06e-12 ***
x                    -1.1003     0.1788  -6.155 1.06e-05 ***
I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

两个线段的截距和斜率分别为：第一个为和，第二个为和。$21.7$$-1.1$$8.5$$0.27$

问题

1. 如何轻松计算每个线段的截距和斜率？可以通过一次计算对模型进行重新模型化吗？
2. 如何计算每段斜率的标准误差？
3. 如何测试两个相邻的斜率是否具有相同的斜率（即是否可以省略断点）？

1. 如何轻松计算每个线段的截距和斜率？

通过简单地将所有系数加到当前位置即可计算出每个段的斜率。所以斜率估计为$x=15$ 是 $-1.1003 + 1.3760 = 0.2757\,$。

截距比较难，但是它是系数的线性组合（涉及结）。

在您的示例中，第二行与第一行在 $x=9.6$，所以红点在的第一行 $21.7057 -1.1003 \times 9.6 = 11.1428$。由于第二条线穿过该点$(9.6, 11.428)$ 带坡度 $0.2757$，其截距为 $11.1428 - 0.2757 \times 9.6 = 8.496$。当然，您可以将这些步骤放在一起，并简化到第二段的截距=$\beta_0 - \beta_2 k_1 = 21.7057 - 1.3760 \times 9.6$。

可以将模型重新参数化以一次计算吗？

好的，是的，但是通常从模型中进行计算通常会更容易。

2.如何计算每段斜率的标准误差？

由于估计是回归系数的线性组合 $a^\top\hat\beta$，在哪里 $a$ 由1和0组成，方差为 $a^\top\text{Var}(\hat\beta)a$。标准误差是方差和协方差项之和的平方根。

例如，在您的示例中，第二段斜率的标准误差为：

Sb <- vcov(mod)[2:3,2:3]
sqrt(sum(Sb))

或者以矩阵形式：

Sb <- vcov(mod)
a <- matrix(c(0,1,1),nr=3)
sqrt(t(a) %*% Sb %*% a)

3.如何测试两个相邻的斜率是否具有相同的斜率（即是否可以省略断点）？

通过查看该段表中的系数进行测试。看到这一行：

I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***

那就是9.6处的斜率变化。如果该变化不同于0，则两个斜率不相同。因此，第二段与第一段具有相同斜率的测试的p值就在该行的末尾。

我的幼稚方法可以回答问题1：

mod2 <- lm(y~I((x<9.6)*x)+as.numeric((x<9.6))+
             I((x>=9.6)*x)+as.numeric((x>=9.6))-1)
summary(mod2)

#                        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
# I((x < 9.6) * x)        -1.1040     0.2328  -4.743 0.000221 ***
# as.numeric((x < 9.6))   21.7188     1.3099  16.580 1.69e-11 ***
# I((x >= 9.6) * x)        0.2731     0.1560   1.751 0.099144 .  
# as.numeric((x >= 9.6))   8.5442     2.6790   3.189 0.005704 ** 

但是我不确定统计信息（特别是自由度）是否正确完成（如果您这样做）。