局部似然，轮廓似然和边际似然之间有什么区别？

我看到这些术语已被使用，并且我不断弄混它们。关于它们之间的区别是否有简单的解释？

似然函数通常取决于许多参数。根据应用程序的不同，我们通常只对这些参数的一部分感兴趣。例如，在线性回归中，兴趣通常在于斜率系数而不是误差方差。

将我们感兴趣的参数表示为$\beta$，将不重要的参数表示为$\theta$。解决估计问题的标准方法是最大化似然函数，以便获得$\beta$和$\theta$估计。但是，由于主要的兴趣在于$\beta$局部，因此轮廓和边际可能性提供了另一种方法来估计$\beta$而无需估计$\theta$。

为了看到差异，用$L(\beta, \theta|\mathrm{data})$表示标准似然。

最大似然

$\beta$$\theta$$L(\beta, \theta|\mathrm{data})$

部分可能性

如果我们可以将似然函数写为：

$L_1(\beta|\mathrm{data})$

个人资料可能性

$\theta$$\beta$$\theta$

$\theta = g(\beta)$

边际可能性

$\theta$$\theta$$\beta$

当在完全指定的似然函数中处理令人讨厌的参数时，将使用这三个参数。

理论上，边缘可能性是消除扰动参数的主要方法。这是一个真实的似然函数（即，它与观测数据的（边际）概率成正比）。

通常，部分可能性不是真正的可能性。但是，在某些情况下，可以将其视为渐近推断的可能性。例如，在起源于Cox比例风险模型中，我们对数据中观察到的排名感兴趣（T1> T2> ..），而没有指定基线风险。埃夫隆（Efron）指出，对于各种危险函数，部分可能性几乎没有损失任何信息。

当我们具有多维似然函数和单个感兴趣的参数时，轮廓似然很方便。通过在每个固定T（感兴趣的参数）处用其MLE代替讨厌的S来指定它，即L（T）= L（T，S（T））。尽管以这种方式获得的MLE可能存在偏差，但在实践中这可以很好地发挥作用。边际可能性纠正了这种偏见。