非平方可积函数的蒙特卡洛积分

我希望这是一个正确的地方，如果不是随意将其移至更合适的论坛的话。

我一直想知道如何使用蒙特卡洛积分来处理非平方可积函数。我知道MC仍会给出适当的估计，但对于此类功能，错误是不可靠的（发散的？）。

让我们限制一个维度。蒙特卡洛积分意味着我们近似积分

一世 = \int_{0}^{1个} d X F （ X ）

$I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, f(x)$

使用估计

Ë = \frac{1个}{ñ} \sum_{一世 = 1个}^{ñ} F （ X_{一世} ）

$E = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N f(x_i)$

与 $x_i \in [0,1]$ 均匀分布的随机点。大数定律确保 $E \approx I$ 。样本方差

{小号}^{2} = \frac{1个}{ñ - 1个} \sum_{一世 = 1个}^{ñ} （ F （ X_{一世} ） - Ë ）^{2}

$S^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (f (x_i) - E)^2$

近似方差 $\sigma^2$ 引起的分布 $f$ 。但是，如果 $f$ 不是平方可积的，即平方函数的积分发散，这意味着

σ^{2} = \int_{0}^{1个} d X {（ F （ X ） - 一世 ）}^{2} = \int_{0}^{1个} d X F^{2} （ X ） - {一世}^{2} ⟶ \infty

$\sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, \left( f(x) - I \right)^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, f^2(x) - I^2 \longrightarrow \infty$

这意味着方差也不同。

一个简单的例子是函数

F （ X ） = \frac{1个}{\sqrt{X}}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

为此 $I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \frac{1}{\sqrt{x}} = 2$ 和 $\sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \left( \frac{1}{x} - 2 \right) = \left[ \ln x - 2x \right]_0^1 \rightarrow \infty$ 。

如果 $\sigma^2$ 是有限的，可以近似均值的误差 $E$ 通过 $\frac{S}{\sqrt{N}} \approx \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ ，但如果 $f(x)$ 不平方可积？

monte-carlo numerical-integration

— 施万
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我不明白：您从一开始就没有注意到

E_{i}

$E_i$ 有一个方差，然后问他们平均值的方差是否可以合理地估计那个不存在的方差！还是我误解了这个问题：也许通过“统计独立估计”，您对积分有一些不同的（也许是健壮的）估计量？

— ub

我没说

E

$E$ 没有方差，只是我不能通过以下方式为其定义方差

S^{2}

$S^2$ 。所以，问题是我是否能定义一个错误可言，如果

{\bar{S}}^{2}

$\bar{S}^2$ 是一个合理的候选人。在统计上独立，我的意思是

E_{i}

$E_i$ 使用不同的随机数，例如通过使用不同种子的随机数生成器（我希望那是正确的术语）来获得。

— cschwan 2013年

请解释一下您无法通过“定义方差

S^{2}

$S^2$ ”。使用方差和

S^{2}

$S^2$ 。

— Whuber

好吧，这个函数不是平方可积的，所以，如果我没记错的话，

S^{2}

$S^2$ 应该发散。在这种情况下，

S^{2}

$S^2$ 首先毫无意义，对吧？但是，借助中心极限定理，

E

$E$ 仍会收敛到积分的真实值，但没有错误，仅此值是没有意义的（此结果有多“好”？）。

— cschwan 2013年

抱歉，我的意思是说“大数定律”，而不是CLT。

— cschwan 2013年

您可以只使用其他尺度/离散度度量，例如分位数范围，而不受尾部渐近线和平方可积性的影响。附加的好处是，它们通常无论如何通常都更强大。

显然，应该将它们应用于平均采样器之后的重采样/自举，而不是直接应用于平均之前函数的MC采样的原始输出。您还可以检查一般的L估计量，并调整其中的一个以将这两个步骤合并为一个，以提高性能，但是即使估计量PDF自然会继承某些特征（包括可能缺乏方差），但从心理上讲，这两个分布也不应混淆可集成性）。

— 石英
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+1，我要补充一点，大数定律不需要第二刻，所以这是一个非常好的建议。

— mpiktas 2013年

感谢您的回答！我必须承认我是第一次阅读这些术语，但是通过在WP中查找它们，我认为您的回答将我引向了正确的方向。您或其他人可以建议一些文章或书籍来详细解释这些主题吗？

— cschwan 2013年

我现在注意到，也许我的答案还不清楚。由于您是在仿真，因此您实际上并不需要重采样/自举，因此从理论上讲，您可以仅添加其他新样本，并获得均值估算器的经验分布。仅当资源是一个问题时，您才可以预先计算部分平均值并重新采样'em，但是如果做得好，统计数据也不会是微不足道的。我不是boostrap专家，所以我会向其他人提供建议，只是想指出，如果您需要超越简单的表述。首先专注于分散措施，然后进行优化。

— 石英

提出的均值估算器没有有限方差。不管是否添加更多样本，估计量的经验分布也将具有非有限方差。您可以通过一些模拟来确认这一点。

— rajb245

当然，实际上这就是讨论的内容，也是人们使用另一种分散措施的原因。

— 石英