这个单一值与该分布相符吗？

这似乎是一个非常幼稚的问题，但我很难看到答案。

我有一组30个值。我独立地获得了第31个值。空假设是第31个值是同一分布的一部分。另一种选择是，它与众不同。我想要某种p值或可能性度量。

我有一些想法：

这类似于想要进行两个样本的t检验-除了对于第二个样本，我只有一个值，并且30个值不一定呈正态分布。
如果我有30个测量值而不是30个测量值，则单个测量值的等级可以提供一些有用的信息。

如何计算这种可能性或p值？

谢谢！亚尼克

hypothesis-testing bayesian t-test

— 扬尼克·乌尔姆（Yannick Wurm）
source

您要求一个预测间隔。您的第二个想法导致了非参数预测间隔（我相信以前没有在此站点上提及）。

— Whuber

您还能向我们介绍一下您的人口吗？所有价值观都是积极的吗？您希望它是对称的吗？单峰？

— soakley 2013年

谢谢和道歉，我应该提供更多的信息。我们正在查看预测间隔。基本上，我们有一个焦点基因预测的长度。并在数据库中找到相似基因的长度。因此，所有数字均为正整数。在简单的情况下，长度的分布是单峰的。实际上，他们经常不满意。在这个阶段，我们可以假设它们是。这里显示了一些分布图：github.com/monicadragan/gene_prediction/tree/master/…–

— Yannick Wurm

我不确定我们想要一个“预测间隔”，我们不想预测...，我们也不想间隔...？

— Yannick Wurm 2013年

不要过度解释技术术语。根据定义，“预测间隔”由值构成，使得在所有值的假定联合分布下，第31个值位于内的机会等于给定目标，例如95％。如果实际上第31个值不在内，则您可能会得出以下结论：（i）您很不幸（在您收集数据之前，只有5％的机会发生），或者（ii）实际上不是如果第31个值具有您假设的分布：这就是您要测试的值。

I

$I$

30

$30$ $31$

I

$I$

I

$I$

— whuber

Answers:

在单峰情况下，Vysochanskij-Petunin不等式可以给您一个粗略的预测区间。这是Wikipedia网站：http : //en.wikipedia.org/wiki/Vysochanski%C3%AF%E2%80%93Petunin_inequality

使用将导致大约95％的预测间隔。 $\lambda = 3$

因此，您可以估算总体的均值和标准差，并仅使用样本均值正负作为间隔。 $\bar x$ $3s$

这种方法存在两个问题。您真的不知道平均值或标准偏差。您正在使用估算值。通常，您将没有单峰分布，这意味着您将不得不使用Chebyshev不等式的专门版本。但是至少您有一个起点。

对于一般情况，Konijn（1987年2月的美国统计师）指出，订单统计可以用作预测间隔。因此，是的预测间隔，Konijn称之为大小大小定义为“该间隔将覆盖取值的概率的最大下限（关于所接受的联合分布集）”。使用这种方法，93.6％的预测间隔为 $\left[ x_{(i)},x_{(j)} \right]$ $X$ ${{j-i} \over {n+1}}.$ $X$ $\left[ x_{(1)},x_{(30)} \right].$

他还给出了一种归因于Saw，Yang和Mo的方法：有关文章覆盖范围的详细信息。

[\bar{X} - λ {（ 1个 + \frac{1个}{ñ} ）}^{1个 / 2} s ， \bar{X} + λ {（ 1个 + \frac{1个}{ñ} ）}^{1个 / 2} s] ，

$\left[ \bar x -\lambda \left(1 + {1 \over n}\right)^{1/2}s \ , \ \bar x + \lambda \left(1 + {1 \over n}\right)^{1/2}s \right],$

例如，如果使用将使覆盖率超过90％。 $n=30,$ $\lambda = 3.2$

— 索克利
source

这似乎是对不等式的错误应用：它假设均值和方差已知，其中方差只能根据此上下文中的数据进行估算。差异可能很大，尤其是对于小型数据集。在对具有切比雪夫不等式的类似提议进行的模拟研究中，我发现性能异常差。从直觉上讲，这类似于学生的见解，即在构造CI时应使用t分布而不是正态分布。因为PI的尾部“更远”，所以差异被放大了。

— ub

重新编辑（+1）：非参数预测间隔可以理解为iid无效假设下的置换检验。在这种情况下，第31个值是所有31个值中的最大值或最小值的机会只有％。相关测试得出的结论是，第31个值最小或最大时与其他30个不一致。该测试的大小（通常而言）为％。它是使用30个数据值进行（双面）测试所能达到的最小尺寸。

2 / 31 \approx 6.45

$2/31\approx 6.45$

6.45

$6.45$

— ub

我有一些想法：

这类似于想要进行两个样本的t检验-除了对于第二个样本，我只有一个值，并且30个值不一定呈正态分布。

正确。这个想法有点像带有单个值的t检验。由于分布是未知的，只有30个数据点的正态性可能有点难以理解，因此需要进行某种非参数测试。

如果我有30个测量值而不是30个测量值，则单个测量值的等级可以提供一些有用的信息。

即使进行了30次测量，排名也可以提供参考。

正如@whuber指出的那样，您需要某种预测间隔。对于非参数情况，您实际上要问的是：给定数据点偶然获得我们为您进行的第31次测量所观察到的排名的概率是多少？

这可以通过简单的置换测试来解决。这是一个具有15个值和一个比第一个值大的小说（第16个观察值）的示例：

932
915
865
998
521
462
688
1228
746
433
662
404
301
473
647

new value: 1374

我们执行N个排列，列表中元素的顺序被重新排列，然后问一个问题：（重新排列）列表中第一个元素的值的等级是多少？

执行N = 1,000个排列将为我们提供608种情况，其中列表中第一个元素的等级等于或大于新值的等级（实际上相等，因为新值是最好的）。再次运行模拟以进行1000个排列，我们得到658个这种情况，然后是663个...

如果我们执行N = 1,000,000个排列，我们将获得62825个案例，其中列表中第一个元素的等级等于或优于新值的等级（进一步的模拟给出62871个案例，然后是62840个……）。如果取满足条件的情况与排列总数之间的比率，我们得到的数字为0.062825、0.062871、0.06284 ...

您可以看到这些值收敛到1/16 = 0.0625（6.25％），正如@whuber所指出的那样，这是随机抽取的给定值（从16个中抽取）在其中可能具有最佳排名的可能性。

对于新数据集，其中新值是次佳值（即等级2）：

6423
8552
6341
6410
6589
6134
6500
6746
8176
6264
6365
5930
6331
6012
5594

new value: 8202

我们得到（对于N = 1,000,000个排列）：125235、124883 ...有利的情况，该情况再次近似表示随机抽取的给定值（从16个中选出）在其中排名第二的可能性：2/16 = 0.125（12.5％）。

— 最烂
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