协方差矩阵的度量标准：缺点和优势

什么是协方差矩阵的“最佳”指标，为什么？在我看来，Frobenius＆c不合适，角度参数化也存在问题。直觉上可能希望在这两者之间做出折衷，但是我也想知道是否还有其他方面需要牢记，也许还有完善的标准。

通用指标具有各种弊端，因为它们对于协方差矩阵而言并不自然，例如，它们通常不会特别惩罚非PSD矩阵或表现不佳（考虑两个旋转的低秩协方差椭球体：我也想同样-中间旋转的距离要小于分量平均距离，这与以及Frobenius的情况不同，请在此处进行校正。同样，并不总是保证凸度。很高兴看到“好”指标解决了这些问题和其他问题。$L_1$

这是对一些问题的很好的讨论，一个来自网络优化的示例，另一个来自计算机视觉的示例。这是一个类似的问题，它得到了一些其他指标，但没有讨论。

好吧，我认为没有很好的指标或“最佳方法”来分析协方差矩阵。分析应始终与您的目标保持一致。假设C是我的协方差矩阵。对角线包含每个计算参数的方差。因此，如果您对参数的重要性感兴趣，那么trace（C）是一个不错的开始，因为它是您的整体性能。

如果绘制参数及其重要性，则可以看到以下内容：

x1 =  1.0 ±  0.1 
x2 = 10.0 ±  5.0
x3 =  5.0 ± 15.0 <-- non-significant parameter

如果您对它们的相互关系感兴趣，那么这样的表可能会产生一些有趣的结果：

x1  1.0
x2  0.9  1.0
x3 -0.3 -0.1  1.0
    x1    x2   x3

每个元素是参数xi和xj之间的相关系数。从示例中可以看出，参数x1和x2是高度相关的。

有趣的问题，我现在正在处理相同的问题！这取决于您如何定义“最佳”，即您是在寻找价差的平均值还是数据之间的相关性等。我在Press，SJ（1972）：Applied Multivariate Analysis， p。中找到。在图108中，被定义为协方差矩阵的行列式的广义方差可用作扩展的单个度量。但是，如果您追求的是相关性，我将需要进一步考虑。让我知道。