t平方的总和是多少？

对于中等大小的（例如小于100），让从具有自由度的Student t分布中得出。定义 是否几乎以具有自由度的卡方分布？平方随机变量的总和是否有类似中心极限定理的东西？ Ñ Ñ Ť = Σ 1 ≤ 我≤ ķ吨2 我 Ť $t_i$$n$$n$

回答第一个问题。

我们可以从mpiktas注意到这样的事实开始，那。然后尝试一个更简单的步骤，首先搜索由F （1 ，n ）分布的两个随机变量之和的分布。这可以通过计算两个随机变量的卷积或计算其特征函数的乘积来完成。$t^2 \sim F(1, n)$$F(1,n)$

PCB Phillips 的文章表明，我对“涉及的[融合]超几何函数”的第一个猜测确实是正确的。这意味着解决方案将是不简单的，蛮力是复杂的，但却是回答您的问题的必要条件。因此，由于是固定的，并且您对t分布求和，所以我们无法确定最终结果是什么。除非有人熟练掌握融合的超几何函数乘积。$n$

这甚至不是一个近似值。 对于小，T的期望等于k $n$$T$，而的期望χ2（ķ）等于ķ。当ķ很小（小于10，比方说）的直方图日志（Ť）和日志（χ2（ķ））甚至不具有相同的形状，这表明移动和重定比例Ť仍然不会工作。$\frac{k n}{n-2}$$\chi^2(k)$$k$$k$$\log(T)$$\log(\chi^2(k))$$T$

凭直觉，对于小自由度，学生的会拖得很重。平方它强调沉重。因此，该总和将会更加歪斜-通常多更多歪斜-比平方法线（的总和χ 2分布）。计算和模拟证明了这一点。$t$$\chi^2$

插图（根据要求）

每个直方图描绘了由指定的自由度（）和加数（k）进行的100,000次试验的独立模拟，并按照@mpiktas的描述进行了标准化。的值Ñ = 9999在底部行接近χ 2的情况。因此，你可以比较牛逼到χ 2由每列扫描下来。$n$$k$$n=9999$$\chi^2$$T$$\chi^2$

注意，对于不可能进行标准化，因为甚至不存在适当的力矩。缺乏形状的稳定性（如你从左在任何行或从顶部到底部向下任何列右扫描）更是标志着ñ ≤ 4。$n \lt 5$$n \le 4$

$k$

$\dfrac{T-kE(t_1)^2}{\sqrt{kVar(t_1^2)}}\sim N(0,1)$

$Et_1^2$$Var(t_1^2)$$n$$t_1^2$$1$$n$

$\dfrac{T-k\frac{n}{n-2}}{\sqrt{k\frac{2n^2(n-1)}{(n-2)^2(n-4)}}}\sim N(0,1)$