标准偏差标准偏差

如果可以假设数据的正态性，那么标准偏差的标准偏差的估计量是多少？

estimation standard-deviation normality-assumption

— 费迪
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我想您正在寻找样本方差的分布。该链接链接到Wikipedia页面上有关2016年8月21日16:55的差异的部分。由于这是到Wikipedia的链接，因此该文章将来可能会更改。因此，在进行此类更改之后，本节可能无法反映此答案所指的内容。因此，此处提供了指向Wikipedia页面历史版本的链接。当前有关方差的文章位于[这里]（en.wikipedia.org/wik

Answers:

令。如该线程所示，样本标准偏差的标准偏差， $X_1, ..., X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$

s = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})},

$s = \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X}) },$

是

S D (s) = \sqrt{E ([E (s) - s]^{2})} = σ \sqrt{1 - \frac{2}{n - 1} \cdot {(\frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})})}^{2}}

${\rm SD}(s) = \sqrt{ E \left( [E(s)- s]^2 \right) } = \sigma \sqrt{ 1 - \frac{2}{n-1} \cdot \left( \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \right)^2 }$

其中是伽马函数，是样本大小，是样本均值。由于是的一致估计，因此建议在上面的公式中用替换以得到的一致估计。 $\Gamma(\cdot)$ $n$ $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ $s$ $\sigma$ $\sigma$ $s$ ${\rm SD}(s)$

如果您要寻找的是无偏估计量，则在该线程中我们看到，根据期望的线性关系， $E(s) = \sigma \cdot \sqrt{ \frac{2}{n-1} } \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) }$

s \cdot \sqrt{\frac{n - 1}{2}} \cdot \frac{Γ (\frac{n - 1}{2})}{Γ (n / 2)}

$s \cdot \sqrt{ \frac{n-1}{2} } \cdot \frac{\Gamma( \frac{n-1}{2} )}{ \Gamma(n/2) }$

作为的无偏估计量。所有这些以及期望的线性关系给出了的无偏估计量： $\sigma$ ${\rm SD}(s)$

s \cdot \frac{Γ (\frac{n - 1}{2})}{Γ (n / 2)} \cdot \sqrt{\frac{n - 1}{2} - {(\frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})})}^{2}}

$s \cdot \frac{\Gamma( \frac{n-1}{2} )}{ \Gamma(n/2) } \cdot \sqrt{\frac{n-1}{2} - \left( \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \right)^2 }$

— 巨集
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+1很高兴看到不仅在将近两年后收到了更好的答复，而且该答复提供了比该线程中其他地方的引用更有用的详细信息。

— ub

您是否忘了在第一个公式中平方距离？

— danijar '16

对于非小值，很难计算Gamma函数。应用斯特林近似，我得到，这在计算上是可行的，而且有点更紧凑的表达方式。

n

$n$

s \cdot \sqrt{e \cdot (1 - \frac{1}{n})^{n - 1} - 1}

$s\cdot\sqrt{\mathrm{e}\cdot(1-\frac{1}{n})^{n-1}-1}$

— equaeghe

也许值得指出的是S（计算在宏@的答案有时被称为样本标准差的标准差。

— 哈维Motulsky

对于那些想要简单形式的人来说，是几个百分点的近似值。

s / \sqrt{2 (n - 1)}

$s/\sqrt{2(n-1)}$

— Syrtis Major

假设您从均值为零且方差为的法线观察 iid 。的（经验）标准偏差估计器的平方根的（无偏或不这不是问题）。作为一个估计量（通过），具有可以从理论上计算出的方差。也许您所说的标准偏差的标准偏差实际上是标准偏差方差的，即？它不是一个估计量，它是一个理论量（类似于 $X_1,\dots,X_n$ $\sigma^2$ $\hat{\sigma}^2$ $\sigma^2$ $X_1,\dots,X_n$ $\hat{\sigma}$ $\sqrt{E[(\sigma-\hat{\sigma})^2]}$ $\sigma/\sqrt{n}$ 待确认），可以明确计算！

— 罗宾·吉拉德
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估计器的功能不是仍然是估计器吗？我仍然不知道\ sigma，只有X_i。

好的，那么您可能会估计方差的平方根的估计值的平方根...对:)应该类似于？

\hat{σ} / n

$\hat{\sigma}/n$

— 罗宾吉拉德

Srikant发现的内容（以及在PhysicsForums上确认的内容）应该是，而应该是。

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\hat{σ} \frac{\sqrt{2}}{2 n}

$\hat{\sigma}\frac{\sqrt{2}}{2n}$

噢，这些评论已锁定；。至少这一点与引导一致。

\frac{\hat{σ}}{\sqrt{2 n}}

$\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{2n}}$

-3

@Macro提供了一个很好的数学解释，并带有公式进行计算。这是数学较少的人的更一般的解释。

我认为“ SD的SD”这个术语使许多人感到困惑。更容易考虑SD的置信区间。您从样本计算的标准偏差的精确度是多少？碰巧您可能偶然获得了紧密聚集在一起的数据，从而使样本SD远低于总体SD。或者，您可能会随机获得比总体总体分散得多的值，从而使样本SD高于总体SD。

解释SD的CI很简单。从惯常的假设开始，即您的数据是从高斯分布中随机且独立地采样的。现在，重复多次采样。您期望其中95％的置信区间包括真实的总体SD。

SD的95％置信区间有多大？当然，这取决于样本大小（n）。

n：SD的95％CI

2：0.45 * SD至31.9 * SD

3：0.52 * SD至6.29 * SD

5：0.60 * SD至2.87 * SD

10：0.69 * SD至1.83 * SD

25：0.78 * SD至1.39 * SD

50：0.84 * SD至1.25 * SD

100：0.88 * SD至1.16 * SD

500：0.94 * SD至1.07 * SD

免费的网络计算器

— 哈维·莫图尔斯基
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我可以做蒙特卡洛，我只是想以更“科学”的方式做。仍然您是正确的，发行版不正常，因此此sd对于测试将毫无用处。

就其价值而言，我对“ 95％的置信区间...可能包含真实的SD”感到不安（或在链接页面中更明确地指出：“您可以95％确信从样本SD计算得出的CI包含真实种群SD“）。我认为这些陈述会引起人们的普遍误解，例如关于CV的相关讨论，请参见此处。

— gung-恢复莫妮卡

“我认为“ SD的SD”的概念和术语都太滑而不能解决”是什么意思？样本标准偏差是具有标准偏差的随机变量。

— 2012年

@宏。感谢您的意见。我大幅改写了。

— Harvey Motulsky

@gung。我重写以正确解释置信区间。

— Harvey Motulsky