方差分析假设正态性/残差的正态分布

ANOVA上的Wikipedia页面列出了三个假设，即：

• 案例独立性–这是简化统计分析模型的假设。
• 正态性–残差的分布是正态的。
• 方差的均等（或“同质”），称为均方差...

这里的兴趣点是第二个假设。几个资料来源列出了不同的假设。有人说原始数据是正常的，有人说残差。

弹出几个问题：

• 残差的正态性和正态分布是否是同一个人（根据Wikipedia条目，我会说正态性是一个属性，并且与残差不直接相关（但可以是残差的属性（括号内的深层嵌套文本，怪异）））？
• 如果没有，应该采用哪种假设？一？都？
• 如果正态分布残差的假设是正确的假设，我们是否仅通过检查原始值的直方图的正态性来犯一个严重的错误？

让我们假设这是一个固定效果模型。（对于随机效应模型，建议实际上并没有改变，只是稍微复杂一点。）

1. 不，残差的正态分布和正态分布不相同。假设您测量了使用和不使用肥料的农作物的单产。在没有肥料的地块上，产量范围为70到130。在两个有肥料的地块上，产量范围为470到530。进一步假设平均产量分别为100和500。然后所有残差的范围是-30至+30。它们可能是（也可能不是）正态分布，但显然这是完全不同的分布。

2. 残差的分布很重要，因为它们反映了模型的随机部分。还要注意，p值是根据F（或t）统计量计算得出的，这些p值取决于残差而不是原始值。

3. 如果在数据显著和重要影响（如本例），那么你可能会作出“严重”的错误。幸运的话，您可以做出正确的决定：也就是说，通过查看原始数据，您会发现混合的分布，这看起来很正常（或不正常）。关键是您要查找的内容无关紧要。

方差分析残差不必一定接近正常值即可拟合模型。但是，残差的接近正态性对于从F分布计算出的p值有意义是必不可少的。

标准的经典单向方差分析可以看作是经典的“ 2-样本T检验”到“ n样本T检验”的扩展。通过将仅两组的单向方差分析与经典的2样本T检验进行比较可以看出这一点。

我认为让您感到困惑的是（在模型的假设下）残差和原始数据都是正态分布的。但是，原始数据由具有不同均值的正态分布组成（除非所有影响都完全相同），但方差相同。另一方面，残差具有相同的正态分布。这来自均等的第三个假设。

这是因为正态分布可分解为均值和方差分量。如果具有均值和方差正态分布，则可以写为其中具有标准正态分布。$Y_{ij}$$\mu_{j}$$\sigma^2$$Y_{ij}=\mu_{j}+\sigma\epsilon_{ij}$$\epsilon_{ij}$

虽然ANOVA可从正态性假设推导出，但我认为（但不确定）它可以由线性假设（沿最佳估计的最佳线性无偏估计器（BLUE）行代替，其中“最佳”被解释为最小均方）错误）。相信这主要涉及在更换分布与任何相互独立的分布（在所有我和Ĵ），其具有平均为0，方差1。$\epsilon_{ij}$

就原始数据而言，当针对模型中的每个因子水平分别绘制时，原始数据应该看起来很正常。这意味着在单独的图上为每个j绘制。$Y_{ij}$

在组大小为的单向情况下： 其中$p$$n_{j}$$F = \frac{SS_{b} / df_{b}}{SS_{w} / df_{w}}$

$SS_{b} = \sum_{j=1}^{p}{n_{j} (M - M_{j}})^{2}$和

$SS_{w} = \sum_{j=1}^{p}\sum_{i=1}^{n_{j}}{(y_{ij} - M_{j})^{2}}$

$F$遵循 -配送如果和是独立的， -分布式变量与和度的自由。当和是均值为和等比例的平方自变量的平方和时，就是这种情况。因此，和必须正态分布。$F$$SS_{b} / df_{b}$$SS_{w} / df_{w}$$\chi^{2}$$df_{b}$$df_{w}$$SS_{b}$$SS_{w}$$0$$M-M_{j}$$y_{ij}-M_{j}$

$y_{i(j)} - M_{j}$是整个模型的残差（），是受限模型的残差（）。这些残差之差为。$Y = \mu_{j} + \epsilon = \mu + \alpha_{j} + \epsilon$$y_{i(j)} - M$$Y = \mu + \epsilon$$M - M_{j}$

编辑以通过@onestop进行澄清：在所有真实的组均值都相等（因此等于），因此组级残差正态性表示也是如此。DV值本身不需要正态分布。$H_{0}$$M$$y_{i(j)} - M_{j}$$M - M_{j}$