多项式对比变量的计算

请让我知道如何有效地将分类变量（因子）重新编码为正交多项式对比变量的集合。

对于许多类型的对比变量（例如，偏差，简单，Helmert等），通过是：

1. 组成对应类型的对比度系数矩阵。
2. 对其进行逆运算或广义逆运算可获得代码矩阵。

例如：

Suppose there is 3-group factor and we want to recode it into a set of deviation  contrast variables.
The last group is treated as reference. Then the contrast coefficients matrix L is

         Group1 Group2 Group3
   var1   2/3   -1/3   -1/3
   var2  -1/3    2/3   -1/3

and ginv(L) is then the sought-for coding matrix

         var1 var2
  Group1   1    0
  Group2   0    1
  Group3  -1   -1

(We might also use inv(L) instead if we add a row for constant, equal to 1/3, at the head of L.)

是否有相同或相似的方法来获取多项式对比变量？如果是，矩阵C将是什么样子以及如何组成？如果否，仍然有什么方法可以有效地（例如通过矩阵代数）有效地计算多项式对比变量。

作为我之前关于该主题的帖子的主题，我想对线性代数和相关的R函数背后的函数进行一些初步（尽管不完整）的探索。这应该是正在进行的工作。

$\mathbf {QR}$$\mathbf u$$\bf A$$\bf e_1$$1$$\bf u$$\mathbf{ I - 2\, uu^T x}$

结果投影可以表示为

$\text{sign}(x_i=x_1)\times \lVert x \rVert \begin{bmatrix}1\\0\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_m\end{bmatrix}$

向量表示我们要分解的矩阵中的列向量与对应于确定的子空间或“镜像”反射的向量之间的差。$\bf v$$\bf x$$\bf A$$\bf y$$\bf u$

LAPACK所使用的方法通过将第一项存储在Householder反射器中而将它们变为，从而解放了它们。而不是使用将向量标准化为，只是将第一项转换为。然而，这些新的向量-称为仍可以用作方向向量。$1$$\bf v$$\bf u$$\lVert u\rVert= 1$$1$$\bf w$

该方法的优点是，鉴于 在分解是上三角，我们实际上可以采取的优点中的元素下面对角线填充它们与这些反射器。幸运的是，这些向量中的前导项都等于，从而防止了矩阵“有争议的”对角线出现问题：知道它们全为，就不需要将其包括在内，并且可以将的对角线生成。$\bf R$$\bf QR$$0$$\bf R$$\bf w$$1$$1$$\bf R$

函数中的“紧凑QR”矩阵qr()$qr可以大致理解为矩阵和“修改”反射器的下部三角形“存储”矩阵的加法。$\mathbf R$

Householder投影将仍然具有，但是我们不会使用（），而是使用向量，其中只有第一个条目被注释为，并且$\mathbf{ I - 2\, uu^T x}$$\bf u$$\lVert \bf x \rVert=1$$\bf w$$1$

$\mathbf{ I - 2\, uu^T x}=\mathbf{ I - 2\, \frac{w}{\lVert w \rVert} \frac{w^T}{\lVert w \rVert} x}=\mathbf{ I - 2\, \frac{w\,w^T}{\lVert w \rVert^2}\,x}\tag{1}$。

可以假设将这些反射器存储在对角线或下方（不包括第一个项，然后将其命名为day就可以了。但是，事情从未如此简单。相反，存储在对角线下方的是和Householderer变换中表示为（1）的系数的组合，因此将定义 为：$\bf w$$\bf R$$1$qr()$qr$\bf w$$\text{tau}$

$\Large \tau = \frac{w^T\,w}{2}= \frac{\lVert \bf w \rVert}{2}$，反射器可以表示为。这些“反射器”矢量是存储在下的所谓“紧凑 ”中的矢量。$\text{reflectors}=\large \bf w/\tau$$\bf R$$\bf QR$

现在，我们与向量相距一个度，并且第一个项不再为，因此，由于我们坚持将“反射器”向量的第一个项排除在外，因此的输出将包括恢复它们的键。适合一切。那么我们是否在输出中看到值？好吧，那不是可以预料的。而是在（存储此键的位置）的输出中找到。$\bf w$$1$qr()qr()$qr$\tau$qr()$qraux$\rho=\frac{\sum \text{reflectors}^2}{2}= \frac{\bf w^Tw}{\tau^2} / 2$

因此在下面用红色框起来，我们看到“反射器”（），不包括它们的第一项。$\bf w/\tau$

所有的代码都在这里，但是由于这个答案是关于编码和线性代数的交集的，因此我将粘贴输出以简化操作：

options(scipen=999)
set.seed(13)
(X = matrix(c(rnorm(16)), nrow=4, byrow=F))
           [,1]      [,2]       [,3]       [,4]
[1,]  0.5543269 1.1425261 -0.3653828 -1.3609845
[2,] -0.2802719 0.4155261  1.1051443 -1.8560272
[3,]  1.7751634 1.2295066 -1.0935940 -0.4398554
[4,]  0.1873201 0.2366797  0.4618709 -0.1939469

现在，我将函数编写House()如下：

   House = function(A){
    Q = diag(nrow(A))
    reflectors = matrix(0,nrow=nrow(A),ncol=ncol(A))
    for(r in 1:(nrow(A) - 1)){ 
        # We will apply Householder to progressively the columns in A, decreasing 1 element at a time.
        x = A[r:nrow(A), r] 
        # We now get the vector v, starting with first entry = norm-2 of x[i] times 1
        # The sign is to avoid computational issues
        first = (sign(x[1]) * sqrt(sum(x^2))) +  x[1]
        # We get the rest of v, which is x unchanged, since e1 = [1, 0, 0, ..., 0]
        # We go the the last column / row, hence the if statement:
        v = if(length(x) > 1){c(first, x[2:length(x)])}else{v = c(first)}
        # Now we make the first entry unitary:
        w = v/first
        # Tau will be used in the Householder transform, so here it goes:
        t = as.numeric(t(w)%*%w) / 2
        # And the "reflectors" are stored as in the R qr()$qr function:
        reflectors[r: nrow(A), r] = w/t
        # The Householder tranformation is:
        I = diag(length(r:nrow(A)))
        H.transf = I - 1/t * (w %*% t(w))
        H_i  = diag(nrow(A))
        H_i[r:nrow(A),r:ncol(A)] = H.transf
        # And we apply the Householder reflection - we left multiply the entire A or Q
        A = H_i %*% A
        Q = H_i %*% Q
    }
    DECOMPOSITION = list("Q"= t(Q), "R"= round(A,7), 
            "compact Q as in qr()$qr"=  
            ((A*upper.tri(A,diag=T))+(reflectors*lower.tri(reflectors,diag=F))), 
            "reflectors" = reflectors,
            "rho"=c(apply(reflectors[,1:(ncol(reflectors)- 1)], 2, 
                function(x) sum(x^2) / 2), A[nrow(A),ncol(A)]))
    return(DECOMPOSITION)
}

让我们将输出与R内置函数进行比较。首先自制功能：

(H = House(X))
$Q
            [,1]        [,2]       [,3]       [,4]
[1,] -0.29329367 -0.73996967  0.5382474  0.2769719
[2,]  0.14829152 -0.65124800 -0.5656093 -0.4837063
[3,] -0.93923665  0.13835611 -0.1947321 -0.2465187
[4,] -0.09911084 -0.09580458 -0.5936794  0.7928072

$R
          [,1]       [,2]       [,3]      [,4]
[1,] -1.890006 -1.4517318  1.2524151 0.5562856
[2,]  0.000000 -0.9686105 -0.6449056 2.1735456
[3,]  0.000000  0.0000000 -0.8829916 0.5180361
[4,]  0.000000  0.0000000  0.0000000 0.4754876

$`compact Q as in qr()$qr`
            [,1]        [,2]       [,3]      [,4]
[1,] -1.89000649 -1.45173183  1.2524151 0.5562856
[2,] -0.14829152 -0.96861050 -0.6449056 2.1735456
[3,]  0.93923665 -0.67574886 -0.8829916 0.5180361
[4,]  0.09911084  0.03909742  0.6235799 0.4754876

$reflectors
            [,1]        [,2]      [,3] [,4]
[1,]  1.29329367  0.00000000 0.0000000    0
[2,] -0.14829152  1.73609434 0.0000000    0
[3,]  0.93923665 -0.67574886 1.7817597    0
[4,]  0.09911084  0.03909742 0.6235799    0

$rho
[1] 1.2932937 1.7360943 1.7817597 0.4754876

R函数：

qr.Q(qr(X))
            [,1]        [,2]       [,3]       [,4]
[1,] -0.29329367 -0.73996967  0.5382474  0.2769719
[2,]  0.14829152 -0.65124800 -0.5656093 -0.4837063
[3,] -0.93923665  0.13835611 -0.1947321 -0.2465187
[4,] -0.09911084 -0.09580458 -0.5936794  0.7928072

qr.R(qr(X))
          [,1]       [,2]       [,3]      [,4]
[1,] -1.890006 -1.4517318  1.2524151 0.5562856
[2,]  0.000000 -0.9686105 -0.6449056 2.1735456
[3,]  0.000000  0.0000000 -0.8829916 0.5180361
[4,]  0.000000  0.0000000  0.0000000 0.4754876

$qr
            [,1]        [,2]       [,3]      [,4]
[1,] -1.89000649 -1.45173183  1.2524151 0.5562856
[2,] -0.14829152 -0.96861050 -0.6449056 2.1735456
[3,]  0.93923665 -0.67574886 -0.8829916 0.5180361
[4,]  0.09911084  0.03909742  0.6235799 0.4754876

$qraux
[1] 1.2932937 1.7360943 1.7817597 0.4754876