异方差和残差正态性

我猜想我有一个很好的线性回归（这是用于大学项目的，因此我并不一定要非常准确）。

关键是，如果我绘制残差与预测值的关系图，（根据我的老师的话）会有异方差的迹象。

但是，如果我绘制残差的QQ图，则很明显它们是正态分布的。此外，残差的Shapiro检验的值为，因此我认为毫无疑问，残差实际上是正态分布的。$p$$0.8$

问题：如果残差呈正态分布，预测值怎么会有异方差？

解决这个问题的一种方法是反过来看：我们如何从正态分布的残差开始并将它们安排为异方差？从这个角度来看，答案变得显而易见：将较小的残差与较小的预测值相关联。

为了说明，这是一个显式构造。

相对于线性拟合（以红色显示），左侧的数据显然是异方差的。这由右侧的残差与预测图驱动。但是-通过构造- 无序残差集接近正态分布，如中间的直方图所示。（Shapiro-Wilk正常性检验中的p值为0.60，这是在运行以下代码后发出的R命令所获得的shapiro.test(residuals(fit))。）

真实数据也可能像这样。道德观念是，异方差刻画了残差大小与预测之间的关系，而正态性并没有告诉我们残差如何与其他任何因素相关。

这是R此构造的代码。

set.seed(17)
n <- 256
x <- (1:n)/n                       # The set of x values
e <- rnorm(n, sd=1)                # A set of *normally distributed* values
i <- order(runif(n, max=dnorm(e))) # Put the larger ones towards the end on average
y <- 1 + 5 * x + e[rev(i)]         # Generate some y values plus "error" `e`.
fit <- lm(y ~ x)                   # Regress `y` against `x`.
par(mfrow=c(1,3))                  # Set up the plots ...
plot(x,y, main="Data", cex=0.8)
abline(coef(fit), col="Red")
hist(residuals(fit), main="Residuals")
plot(predict(fit), residuals(fit), cex=0.8, main="Residuals vs. Predicted")

在加权最小二乘（WLS）回归中，您可能希望能够看到的估计残差的随机因素呈正态分布，尽管它通常并不十分重要。如简单的（一个回归变量，并通过原点）回归案例所示，估计的残差可以在https://www.researchgate.net/publication的第1页底部以及第2和7页的下半部分中进行分解。/ 263036348_Properties_of_Weighted_Least_Squares_Regression_for_Cutoff_Sampling_in_ Establishmentment_Surveys 无论如何，这可能有助于显示常态可以进入图片的位置。