为什么在标准差公式中对样本计数“ N”取平方根？

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我正在尝试了解标准差的一个非常基本的概念。

根据公式 $\sigma= \sqrt{ \dfrac{ \sum\limits_{i=1}^n (x_i-\mu)^2} N }$

我不明白为什么我们要将人口“ N”减半，即为什么当我们不做时为什么要取呢？这是否会使我们正在考虑的人口倾斜？ $\sqrt{N}$ ${N^2}$

公式不应是 $\sigma= \dfrac{ \sqrt{ \sum\limits_{i=1}^n (x_i-\mu)^2} } {N}$

standard-deviation

— 马赫什（Mahesh Subramaniya）
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您试图找到与平均值的“典型”偏差。

方差是“与均值的平均平方距离”。

标准偏差是该值的平方根。

这使其与均值的均方根偏差。

为什么要使用均方差？是什么使方差有趣？其中，由于存在关于方差的基本事实，即不相关变量之和的方差是各个方差的总和。（这在很多问题中都涉及，例如，在CrossValidated上。此处不提供此方便的功能，例如，平均绝对偏差。
为什么要扎根呢？因为这样它与原始观测值的单位相同。它从均值（如前所述，RMS距离）测量一种特殊的“典型距离”，但是由于上述方差性质，它具有一些不错的功能。

— Glen_b-恢复莫妮卡
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该标准偏差是的平方根方差。

方差是数据与平均值的平均平方距离。由于平均值是总和除以相加的项目数，因此方差的公式为：再一次，由于标准偏差只是其平方根，因此标准偏差的公式为：尚未添加或更改任何内容假设或这里的变化，我们只是把方差的平方根，因为这是标准偏差是什么是。

Var (X) = E [(X - μ)^{2}] = \frac{\sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{2}}{N}

$\text{Var}(X)=\text{E}[(X-\mu)^2] = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2}{N}$

S.D. (X) = \sqrt{Var (X)} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{2}}{N}}

$\text{S.D.}(X)=\sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2}{N}}$

— gung-恢复莫妮卡
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也许应该提到，该方差公式仅适用于离散制服。否则可能会混淆样本与总体方差之间的区别

— 泰勒

@泰勒，我不知道你的意思。方差的公式与分布无关。

— gung-恢复莫妮卡

（样本）方差的公式与分布无关（en.wikipedia.org/wiki/Expected_value#Definition）–

— 泰勒

@泰勒，我仍然不知道你的意思。方差的公式与分布无关。引自维基百科页面，“随机变量X的方差是与X的均值平方偏差的期望值...。此定义包含由离散，连续，既不混合也不混合的过程生成的随机变量。” 该公式不仅适用于离散均匀。

Var (X) = E [(X - μ)^{2}]

$\operatorname{Var}( X ) = E⁡[(X − μ)^2]$

— gung-恢复莫妮卡

是的，是的，如果您使用，但是对于任何随机变量，不一定相等，。对于一个来说，第一个是常数，第二个是随机数。实际上，目前尚不清楚总和是否超出了的支持范围或样本数量。如果是后者，您很奇怪，这在实践中很少见。如果是前者，那么是的，仅适用于离散（因为这是一个总和）制服（因为权重都是均匀的）。

μ = E X

$\mu = EX$

E [(X - μ)^{2}]

$E[(X-\mu)^2]$

X

$X$

\frac{1}{N} \sum_{i} (x_{i} - μ)^{2}

$\frac{1}{N}\sum_i(x_i - \mu)^2$

X

$X$

μ

$\mu$

— 泰勒

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首先要了解的是，标准偏差（std）与平均绝对偏差不同。这两个定义了关于数据的不同数学属性。

与平均绝对偏差不同，标准偏差（std）对远离均值的值的权重更大，这是通过对差值求平方来实现的。

例如，对于以下四个数据点：

\begin{array}{ccc} D a t a (x) & | x - m e a n | & (x - m e a n)^{2} \\ 2 & 2 & 4 \\ - 2 & 2 & 4 \\ - 6 & 6 & 36 \\ 6 & 6 & 36 \\ \sum x = 0 & \sum (| x - m e a n |) = 16 & \sum (x - m e a n)^{2} = 80 \end{array}

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline Data (x)& |x - mean| & (x-mean)^2 \\ \hline 2 & 2 & 4\\ \hline -2 &2 &4\\ \hline -6 &6 &36\\ \hline 6 &6 &36\\ \hline \sum x =0 & \sum (|x-mean|) = 16 & \sum (x-mean)^2 = 80 \end{array}$

平均绝对偏差（aad），并且 $= 16/4 = 4.0$

标准偏差（std）= $\sqrt{80/4} = \sqrt 20 = 4.47$

在数据中，有两个与均值相距6距离的点，以及两个与均值相距2距离的点。因此，偏差4.47比4.更有意义。

由于总观测值始终为，因此在计算std时，我们不会用来求潜水，而是将总方差除以并取其平方根，以使其与原始数据相同。 $N$ $\sqrt N$ $N$

— ump
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@Mahesh Subramaniya-这只是数学上的扭曲。当我们具有类原始值时。我们可以使用这两个方程和获得相同的值。 $a/b = (-)d$ ${a}^2\diagup{b}=c$ $\sqrt{c\diagup{b}}=d$

例如，只需使用 =。但是，我们只希望价值不减。 ${-5}\diagup{2}$ $-2.5$

现在，。并且 ${-5}^2\diagup{2}=12.5$ $\sqrt{12.5\diagup{2}}=2.5$

— Ellephy
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