自相关时间的定义（有效样本量）

我在文献中为弱固定时间序列的自相关时间找到了两个定义：

$$\tau_a = 1+2\sum_{k=1}^\infty \rho_k \quad \text{versus} \quad \tau_b = 1+2\sum_{k=1}^\infty \left|\rho_k\right|$$

其中是滞后的自相关。 $\rho_k = \frac{\text{Cov}[X_t,X_{t+h}]}{\text{Var}[X_t]}$$k$

自相关时间的一种应用是找到“有效样本量”：如果您对一个时间序列有观测值，并且知道它的自相关时间，那么您可以假装您拥有$n$$\tau$

$$n_\text{eff} = \frac{n}{\tau}$$

为了找到平均值，独立样本而不是相关样本。从数据中估计并非易事，但有几种方法可以做到这一点（请参阅Thompson 2010）。$n$$\tau$

没有绝对值的定义在文献中似乎更常见；但它承认的可能性。使用R和“ coda”包：τ 一个 < $\tau_a$$\tau_a<1$

require(coda)
ts.uncorr <- arima.sim(model=list(),n=10000)         # white noise 
ts.corr <- arima.sim(model=list(ar=-0.5),n=10000)    # AR(1)
effectiveSize(ts.uncorr)                             # Sanity check
    # result should be close to 10000
effectiveSize(ts.corr)
    # result is in the neighborhood of 30000... ???

“ coda”中的“ effectiveSize”函数使用的自相关时间的定义等于上述。还有一些其他R软件包可以计算有效样本大小或自相关时间，而我尝试过的所有软件包都给出了与之相符的结果：AR系数为负的AR（1）流程比相关的样本具有更有效的样本时间序列。这似乎很奇怪。 $\tau_a$

显然，这在自相关时间的定义中永远不会发生。$\tau_b$

自相关时间的正确定义是什么？我对有效样本量的理解有问题吗？上面显示的结果似乎必须是错误的...发生了什么？$n_\text{eff} > n$

首先，国际海事组织将“有效样本量”的适当定义与一个非常具体的问题联系在一起。如果的均值和方差1分布，则经验均值 是的无偏估计量。但是其方差呢？对于自变量，方差为。对于弱固定时间序列，的方差为 μ μ = $X_1, X_2, \ldots$$\mu$μñ-1 μ

$$\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$$ $\mu$$n^{-1}$$\hat{\mu}$ÑÑEFF=ñ/τ一个ñ - 1个EFF ñEFFÑEFF=ñ/τ $$\frac{1}{n^2} \sum_{k, l=1}^n \text{cov}(X_k, X_l) = \frac{1}{n}\left(1 + 2\left(\frac{n-1}{n} \rho_1 + \frac{n-2}{n} \rho_2 + \ldots + \frac{1}{n} \rho_{n-1}\right) \right) \simeq \frac{\tau_a}{n}.$$ 近似值对于足够大的有效。如果我们定义，则弱平稳时间序列的经验均值方差约为，这是相同的方差就像我们有独立的样本一样。因此，如果我们要求经验平均值的方差，则是一个合适的定义。它可能不适用于其他目的。$n$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$$n_{\text{eff}}^{-1}$$n_{\text{eff}}$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$

在观察值之间具有负相关性的情况下，方差肯定有可能变得小于（）。这是Monto Carlo积分中众所周知的方差减少技术：如果我们在变量之间引入负相关而不是相关0，则可以在不增加样本量的情况下减少方差。 ñ EFF > $n^{-1}$$n_{\text{eff}} > n$

参见 http://arxiv.org/pdf/1403.5536v1.pdf

和

https://cran.r-project.org/web/packages/mcmcse/mcmcse.pdf

有效样本量。我认为使用通过批次均值的样本方差和渐近马尔可夫链方差之比的替代公式更合适。