指数随机变量可达到的相关性

一对指数分布的随机变量和的可达到相关性的范围是多少，其中为速率参数？ $X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$ $X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$ $\lambda_1, \lambda_2 > 0$

correlation exponential

— QuantIbex
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该问题与此处的旁注关联。

— QuantIbex

令（分别为）表示和之间可获得的相关关系的下限（分别为上限）。当和分别为反单调和共调时（请参见此处），将达到边界和。 $\rho_{\min}$ $\rho_{\max}$ $X_1$ $X_2$ $\rho_{\min}$ $\rho_{\max}$ $X_1$ $X_2$

下界
为了确定下界我们构造了一对反单调指数变量并计算它们的相关性。 $\rho_{\min}$

这里提到的充要条件和概率积分变换提供了一种方便的方法来构造随机变量和，使其具有单调性。回想一下，指数分布函数为，因此分位数函数为。 $X_1$ $X_2$
$F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$ $F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

假设是均匀分布的随机变量，则也均匀分布，并且随机变量分别具有比率和的指数分布。此外，由于和且函数和分别增加和减少。 $U\sim U(0, 1)$ $1-U$

X_{1} = - λ_{1}^{- 1} \log (1 - U), and X_{2} = - λ_{2}^{- 1} \log (U)

$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

X_{1} = h_{1} (U)

$X_1 = h_1(U)$

X_{2} = h_{2} (U)

$X_2 = h_2(U)$

h_{1} (x) = - λ_{1}^{- 1} \log (1 - x)

$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$

h_{2} (x) = - λ_{1}^{- 1} \log (x)

$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

现在，让我们计算和的相关性。根据指数分布的属性，我们有，，和。另外，我们有其中 $X_1$ $X_2$ ${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$ ${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$ ${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$ ${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$

\begin{aligned} E (X_{1} X_{2}) & = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} E {\log (1 - U) \log (U)} \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} \int_{0}^{1} \log (1 - u) \log (u) f_{U} (u) d u \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} \int_{0}^{1} \log (1 - u) \log (u) d u \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} (2 - \frac{π^{2}}{6}), \end{aligned}

$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$

f_{U} (u) \equiv 1

$f_U(u) \equiv 1$ 是标准均匀分布的密度函数。对于最后的平等，我依靠WolframAlpha。

因此，请注意，下界不取决于速率和，并且即使两个边距相等（即，当），相关也永远不会达到。

\begin{aligned} ρ_{min} & = c o r r (X_{1}, X_{2}) \\ = \frac{λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} (2 - π^{2} / 6) - λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1}}{\sqrt{λ_{1}^{- 2} λ_{2}^{- 2}}} \\ = 1 - π^{2} / 6 \approx - 0.645. \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

- 1

$-1$

λ_{1} = λ_{2}

$\lambda_1 = \lambda_2$

上限
要确定的上限，我们采用类似的方法，即一对共调性指数变量。现在，让和，其中和，它们都是递增函数。因此，这些随机变量是单调的，并且都以速率和呈指数分布。 $\rho_{\max}$ $X_1 = g_1(U)$ $X_2 = g_2(U)$ $g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$ $g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$ $\lambda_1$ $\lambda_2$

我们有从而与下限类似，上限不取决于速率和。

\begin{aligned} E (X_{1} X_{2}) & = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} E {\log (1 - U) \log (1 - U)} \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} \int_{0}^{1} {\log (1 - u)}^{2} d u \\ = 2 λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1}, \end{aligned}

$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$

\begin{aligned} ρ_{max} & = c o r r (X_{1}, X_{2}) \\ = \frac{2 λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} - λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1}}{\sqrt{λ_{1}^{- 2} λ_{2}^{- 2}}} \\ = 1 . \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

— QuantIbex
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感谢您的计算。我只是想补充一下，可能立即发现，注意和是同一类型：分布为，即分布相同。

ρ_{m a x} = 1

$\rho_{max}=1$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

\frac{λ_{1}}{λ_{2}} X_{1}

$\frac{\lambda_1}{\lambda_2}X_1$

E x p (λ_{2})

$Exp(\lambda_2)$

X_{2}

$X_2$

— user48713 2014年

（+1）。注意，在观察两个指数变量仅按比例因子不同时，上限很明显。同样明显的是，当时，下界不能达到（否则，偏度将为零）。

- 1

$-1$

λ_{1} \neq λ_{2}

$\lambda_1\ne\lambda_2$

— ub