满足详细平衡的MCMC是否会产生固定分布？

我想我了解详细的平衡条件的方程，该方程表明对于转移概率和平稳分布π，如果q （x | y ）π （y ）= q （y | x ）π （X ）$q$$\pi$

$$q(x|y)\pi(y)=q(y|x)\pi(x),$$

如果我将其重述为：

$$\frac{q(x|y)}{q(y|x)}= \frac{\pi(x)}{\pi(y)}.$$

基本上，从状态转换到状态y的概率应与它们的概率密度之比成正比。$x$$y$

满足详细平衡的MCMC总是会产生平稳分布是不正确的。您还需要遍历整个过程。让我们看看为什么：

认为是所有可能状态的集合的状态，并通过索引i进行标识。在马尔可夫过程中，分布p t（i ）根据$x$$i$$p_t(i)$

$$p_t(i) = \sum_{j} \Omega_{j \rightarrow i} p_{t-1}(j)$$

$\Omega_{j \rightarrow i}$$q(x|y)$

所以，我们有

$$p_t(i) = \sum_{j} (\Omega_{j \rightarrow i})^t p_{0}(j)$$

$\Omega_{j \rightarrow i}$

$p_{0}(j)$

• $\Omega$

$\pi$

• $\pi$

遍历性表示1.，详细平衡表示2.，这就是为什么两者都形成渐进收敛的必要条件和充分条件。

为什么详细平衡意味着2：

从...开始

$$p(i)\Omega_{ij} = \Omega_{ji} p(j)$$

$j$

$$p(i) = \sum_{j}\Omega_{ji} p(j)$$

$\sum_{j} \Omega_{ij} = 1$

上面的方程式是特征值1的定义（便于查看是否以矢量形式编写它：）

$$1.v = \Omega\cdot v$$

我认为是这样，因为对于无法还原的MC如果满足详细的平衡，则它具有唯一的固定分布，但是要使其与初始分布无关，它也必须是非周期性的。

对于MCMC，我们从数据点开始，然后提出一个新点。我们可能会或可能不会移至建议的点，即我们有一个自环，该环使不可约的MC非周期性。

现在，由于满足DB，它也具有正的重复状态，即返回状态的平均时间是有限的。因此，我们在MCMC中构建的链是不可还原的，非周期性的和正递归的，这意味着它是遍历链。

我们知道，对于不可还原的遍历链，存在一个固定分布，它是唯一的并且与初始分布无关。