从移动平均中提取数据点？

是否可以从移动平均数据中提取数据点？

换句话说，如果一组数据仅具有前30个点的简单移动平均值，是否可以提取原始数据点？

如果是这样，怎么办？

+1是fabee的答案，这是完整的。只是根据我发现可以进行手头操作的软件包，将其转换为R的注释。就我而言，我的数据是三个月的NOAA温度预测：1月-2月-3月，2月-3月-4月，3月-4月-5月等，我想将其分解为（近似）假设每个三个月的温度基本上是一个平均值，则为月度值。

library (Matrix)
library (matrixcalc)

# Feb-Mar-Apr through Nov-Dec-Jan temperature forecasts:

qtemps <- c(46.0, 56.4, 65.8, 73.4, 77.4, 76.2, 69.5, 60.1, 49.5, 41.2)

# Thus I need a 10x12 matrix, which is a band matrix but with the first
# and last rows removed so that each row contains 3 1's, for three months.
# Yeah, the as.matrix and all is a bit obfuscated, but the results of
# band are not what svd.inverse wants.

a <- as.matrix (band (matrix (1, nrow=12, ncol=12), -1, 1)[-c(1, 12),])
ai <- svd.inverse (a)

mtemps <- t(qtemps) %*% t(ai) * 3

这对我来说很棒。谢谢@fabee。

编辑：好的，将我的R反向翻译为Python，我得到：

from numpy import *
from numpy.linalg import *

qtemps = transpose ([[46.0, 56.4, 65.8, 73.4, 77.4, 76.2, 69.5, 60.1, 49.5, 41.2]])

a = tril (ones ((12, 12)), 2) - tril (ones ((12, 12)), -1)
a = a[0:10,:]

ai = pinv (a)

mtemps = dot (ai, qtemps) * 3

（调试所需的时间比R版本要长得多。首先是因为我不像R那样熟悉Python，还因为R在交互方面更有用。）

我试着把胡言乱语的答案。假设您有一个大向量其中n = 2000个条目。如果计算的移动平均值与长度的窗口ℓ = 30，则可以写为一个向量矩阵乘法Ŷ = 甲X的向量X与矩阵$\mathbf x$$n=2000$$\ell=30$$\mathbf y = A\mathbf x$$\mathbf x$

其中有个将随着您在行中的移动而移动，直到30个到达矩阵的末尾。此处，平均向量y具有1970维。矩阵有1970行和2000列。因此，它不是不可逆的。$30$$30$$\mathbf y$$1970$$2000$

如果你不熟悉的矩阵，想想它作为一个线性方程组：您正在搜索的变量，则前三十个平均值y 1，后二十个平均值y 2，依此类推。$x_1,...,x_{2000}$$y_1$$y_2$

方程系统（和矩阵）的问题在于，它比方程具有更多的未知数。因此，你不能唯一地识别您的未知数。直观的原因是您在求平均值时放宽了尺寸，因为x的前三十个尺寸在y中没有得到对应的元素，因为您无法将求平均值窗口移到x之外。$x_1,...,x_n$$\mathbf x$$\mathbf y$$\mathbf x$

一种使或等价的方程组可求解的方法是，提出30个以上的方程（或A的30个行），这些方程可提供附加信息（与A的所有其他行线性独立）。$A$$30$$30$$A$$A$

另外，也许更容易，方法是使用伪逆的一个。这将生成向量z = A † y，该向量的维数与x相同，并且具有使y和A z之间的二次距离最小的特性（请参阅Wikipedia）。$A^\dagger$$A$$\mathbf z = A^\dagger\mathbf y$$\mathbf x$$\mathbf y$$A\mathbf z$

$2000$$\mathbf x$

许多数值程序提供伪逆（例如Matlab，python中的numpy等）。

这是从我的示例生成信号的python代码：

from numpy import *
from numpy.linalg import *
from matplotlib.pyplot import *
# get A and its inverse     
A = (tril(ones((2000,2000)),-1) - tril(ones((2000,2000)),-31))/30.
A = A[30:,:]
pA = pinv(A) #pseudo inverse

# get x
x = random.randn(2000) + 5
y = dot(A,x)

# reconstruct
x2 = dot(pA,y)

plot(x,label='original x')
plot(y,label='averaged x')
plot(x2,label='reconstructed x')
legend()
show()

希望能有所帮助。