对数正态随机变量的相关性


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给定和具有相关系数正常随机变量,我如何找到以下对数正态随机变量和之间的相关性?X 2 ρ ý 1 ÿ 2X1X2ρY1Y2

Y1=a1exp(μ1T+TX1)

Y2=a2exp(μ2T+TX2)

现在,如果X1=σ1Z1X2=σ1Z2,其中Z1Z2是标准法线,则从线性变换属性中,我们得到:

Y1=a1exp(μ1T+Tσ1Z1)

Y2=a2exp(μ2T+Tσ2(ρZ1+1ρ2Z2)

现在,如何从此处计算Y1Y_2之间的相关性Y2


@ user862,提示:使用双变量正态的特征函数。
mpiktas,2011年

2
请参阅stuart.iit.edu/shared/shared_stuartfaculty/whitepapers/…中的公式(11)(但请注意可怕的排版)。
ub

Answers:


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我假设和。表示X 2Ñ 0 σ 2 2Ž = EXP X1N(0,σ12)X2N(0,σ22)Zi=exp(TXi)。然后

log(Zi)N(0,Tσi2)
这样是对数正态的Zi。从而

EZi=exp(Tσi22)var(Zi)=(exp(Tσi2)1)exp(Tσi2)
EYi=aiexp(μiT)EZivar(Yi)=ai2exp(2μiT)var(Zi)

然后用公式为多元正态分布的MGF我们

EY1Y2=a1a2exp((μ1+μ2)T)Eexp(TX1+TX2)=a1a2exp((μ1+μ2)T)exp(12T(σ12+2ρσ1σ2+σ22))
所以
cov(Y1,Y2)=EY1Y2EY1EY2=a1a2exp((μ1+μ2)T)exp(T2(σ12+σ22))(exp(ρσ1σ2T)1)

现在和的相关性Y1Y2是协方差除以方差的平方根:

ρY1Y2=exp(ρσ1σ2T)1(exp(σ12T)1)(exp(σ22T)1)

请注意,只要近似值在上面找到的最终公式上有效,就具有。ex1+xρY1Y2ρ
danbarros
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