严格冯·诺依曼不等式的例子

令表示相对于先验的估计器的贝叶斯风险，令表示参数空间上所有先验的集合，而表示所有（可能是随机的）决策规则。$r(\pi, \delta)$$\delta$$\pi$$\Pi$$\Theta$$\Delta$

约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）的极小极大不等式的统计解释表明：

$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) \leq \inf_{\delta\in\Delta}\sup_{\pi\in\Pi} r(\pi, \delta),$$

当\ Theta和\ Delta都是有限的时，保证对某些$\delta'$和\ pi'具有严格的相等性。$\pi'$$\Theta$$\Delta$

有人可以提供不平等严格的具体例子吗？

当风险函数对某些值满足以下条件时（前者值为“低”而后者为“高”），则出现严格的冯·诺依曼不等式的一个示例：$r$$r_0 < r_1$

$$\begin{matrix} \forall \pi \in \Pi, \exists \delta \in \Delta: & & r(\pi, \delta) = r_0, & & (1) \\[8pt] \forall \delta \in \Delta, \exists \pi \in \Pi: & & r(\pi, \delta) = r_1. & & (2) \end{matrix}$$

第一个条件说，不管先验条件如何，总是存在风险为的决策规则，该决策规则使。第二个条件说，不管决策规则如何，总有一些先验给出高风险，这给。$r_0$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_0$$r_1$$\inf_{\pi\in\Pi} \sup_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_1$

陈述这种情况的另一种方式是，没有任何决策规则（在看到先验条件之前选择），以确保每个先验条件（有时会有高风险）的低风险，但是对于每个先验条件，都有一定的决策规则（在看到先验条件之后选择）先验）保证低风险。换句话说，为了对风险施加下限，我们需要使决策规则适应于Prior。

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示例：当您有一对允许的先验和一对允许的决策规则带有如下风险矩阵时，会发生这种情况的简单示例：$\pi_0, \pi_1$$\delta_0, \delta_1$

$$\begin{array}{ll} r(\pi_0, \delta_0) = r_0 & & r(\pi_1, \delta_0) = r_1, \\[6pt] r(\pi_0, \delta_1) = r_1 & & r(\pi_1, \delta_1) = r_0. \\[6pt] \end{array}$$

在这种情况下，没有可以保证两个先验风险都低的决策规则，但是对于每个先验，都存在一个风险低的决策规则。这种情况满足了在冯·诺依曼不等式中给出严格不等式的上述条件。