Poisson GLM如何接受非整数？

泊松GLM接受非整数的事实真让我感到惊讶！看：

数据（的内容data.txt）：

1   2001    0.25  1
1   2002    0.5   1
1   2003    1     1
2   2001    0.25  1
2   2002    0.5   1
2   2003    1     1

R脚本：

t        <- read.table("data.txt")
names(t) <- c('site', 'year', 'count', 'weight')
tm       <- glm(count ~ 0 + as.factor(site) + as.factor(year), data = t, 
                family = "quasipoisson")  # also works with family="poisson"
years    <- 2001:2003
plot(years, exp(c(0, tail(coef(tm), length(years)-1))), type = "l")

结果年度索引为“预期”，即1-2-4以年为单位2001-2003。

但是，泊松GLM怎么可能采用非整数？泊松分布始终仅是整数！

r generalized-linear-model poisson-distribution poisson-regression

— 好奇
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您能澄清一下您想知道什么吗？拟合算法如何处理非整数？还是为什么R不检查响应是否为整数？或者提供非整数时结果是否有问题？

— 莫莫

@Momo，是的，所有这些问题都很有趣！

— 好奇的

请修改您的问题以反映这一点。这样，您更有可能获得良好的答案。

— Momo 2013年

但这并不是真的很重要，也确实如此family="poisson"，但是请注意，您的示例不是泊松GLM，因为您使用的是quasipoisson族，它仅取决于均值和方差之间的关系，因此在这种情况下，采用非整数并不奇怪。

— 亚伦-恢复莫妮卡

以下是一些有关为什么这样做有意义的参考。

— Dimitriy V. Masterov

Answers:

当然，从技术上讲，泊松分布仅定义为整数是正确的。但是，统计建模是一种很好的近似方法（“ 所有模型都是错误的 ”），并且有时将非整数数据视为[近似]泊松是有意义的。

例如，如果您派出两个观察员来记录相同的计数数据，则可能会出现两个观察员并不总是同意计数的情况-一个人可能说某事发生了3次，而另一个人却说发生了4次。很好的是，可以在拟合泊松系数时选择使用3.5，而不必在3和4之间进行选择。

从计算上讲，泊松中的阶乘可能会使与非整数一起使用似乎变得困难，但是对阶乘存在连续的概括。此外，一旦简化表达式，就可以对泊松执行最大似然估计甚至不涉及阶乘函数。

— 祖尔兹
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对于响应，如果假定其期望的对数是预测的线性组合＆它的方差等于它的期望的回归然后一致性估计系数：可以通过求解得分方程泊松模型来获得 $y$ $\renewcommand{\vec}[1]{\boldsymbol{#1}}\vec{x}$

E Y_{i} = \exp β^{T} x_{i}

$\operatorname{E}Y_i=\exp{\vec\beta^{\mathrm{T}}\vec{x}_i}$

Var Y_{i} = E Y_{i}

$\operatorname{Var}Y_i=\operatorname{E}Y_i$

β

$\vec\beta$

\sum_{i}^{n} x_{i} (y_{i} - \exp β^{T} x_{i}) = 0

$\sum_i^n{\vec{x}_i\left(y_i-\exp{\vec\beta^{\mathrm{T}}\vec{x}_i}\right)}=0$ 当然，一致性并不意味着任何测试或置信区间的有效性。尚未指定可能性。

这是从我们在学校中学到的瞬间方法开始的，并导致了广义估计方程的方法。

@Aaron指出您实际上在代码中使用了拟泊松拟合。这意味着方差与平均值成正比

Var Y_{i} = ϕ E Y_{i}

$\operatorname{Var}Y_i=\phi\operatorname{E}Y_i$

$\phi$

— Scortchi-恢复莫妮卡
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