二项式分布函数何时高于/低于其极限泊松分布函数？

令表示二项分布函数（DF），其参数和在： \ begin {equation} B（n，p，r）= \ sum_ {i = 0} ^ r \ binom {n} {i} p ^ i（1-p）^ {ni}，\ end {equation } 和让F（\ NU，R）表示泊松DF与参数A \在\ mathbb R 2 +在评价中的R \ \ {0,1,2，\ ldots \} ： \开始{方程} F（一，r）= e ^ {-a} \ sum_ {i = 0} ^ r \ frac {a ^ i} {i！}。\ end {equation}$B(n,p,r)$$n \in \mathbb N$$p \in (0,1)$$r \in \{0,1,\ldots,n\}$

$$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$$ $F(\nu,r)$$a \in \mathbb R^+$$r \in \{0,1,2,\ldots\}$ $$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$$

考虑$p \rightarrow 0$，并让$n$被定义为$\lceil a/p-d \rceil$，其中$d$是量级的恒定$1$。由于$np \rightarrow a$，对于所有r，函数$B(n,p,r)$收敛到F（a，r），这是众所周知的。$F(a,r)$$r$

与上面的定义$n$，我感兴趣的确定的值$a$为其

$$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$$ 以及类似的 $$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$$ 我已经能够证明所述第一不等式成立为$a$充分小于$r$ ; 更具体地，对于$a$大于一定界下$g(r)$，用$g(r)<r$。类似地，第二不等式成立为$a$足够大于$r$，即用于$a$大于某个界限$h(r)$，其中$h(r)>r$。（的界限表达$g(r)$和$h(r)$是不相关的在这里。我将提供细节感兴趣的人。）但是，计算结果表明，这些不平等保持较宽松的界限，也就是说，对于$a$接近$r$比我可以证明。

因此，我想知道是否存在一些定理或结果确定每个不等式在什么条件下成立（对于所有$p$）；也就是说，当保证二项式DF高于/低于其极限泊松DF时。如果不存在这样的定理，那么朝着正确方向的任何想法或指针将不胜感激。

请注意，在math.stackexchange.com 中发布了一个类似的问题，用不完整的beta和gamma函数表示，但没有答案。

关于以下内容：

• 二项式分布的均值是$np$

• 方差为$np(1-p)$

• 泊松分布的平均值是，我们可以想象为$\lambda$$n\times p$

• 泊松的方差与均值相同

现在，如果泊松是具有参数和的二项式的极限，使得增加到无穷大，并且减小到零，而它们的乘积保持恒定，则假定和没有收敛到它们各自的极限，则表达式始终大于，因此二项式的方差小于Poisson的方差。这意味着二项式在尾部以下，而在其他地方以上。$n$$p$$n$$p$$n$$p$$np$$np(1-p)$