分布是否有名称？

前几天，我遇到了这种密度。有人给这个名字了吗？

$f(x) = \log(1 + x^{-2}) / 2\pi$

密度在起点是无限的，并且也有肥尾。我看到它被用作先验分布，在这种情况下，虽然许多观察值也期望很小，但期望也很小。

distributions probability

— 约翰·D·库克
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出于好奇，您是否曾引用过您最初看到此内容的来源？

— JMS

JMS：Carvalho，Polson和Scott撰写的“稀疏信号的马蹄估计器”。我将其视为预印本，但目前可能已在Biometrika上发表。他们没有完全使用此先验，但是上面的密度是其先验的特殊情况的近似值。

— John D. Cook

它已经发布：dx.doi.org/10.1093/biomet/asq017。

— fabians 2011年

您要近似哪种特殊情况？我已经看过了，但是真的不能将您的表达与论文中给出的表达联系起来吗？

— fabians 2011年

@fabians：我想到的情况是定理1中的sigma ^ 2 = tau ^ 2 =1。它说马蹄密度的上下限是log（1 + c / x ^ 2）的倍数。因此，也许我上面提到的分布更像是简化了马蹄形而不是近似。

— 约翰·库克

Answers:

实际上，甚至第一刻都不存在。该分布的CDF由下式给出

F (x) = 1 / 2 + (\arctan (x) - x \log (\sin (\arctan (x)))) / π

$F(x) = 1/2 + \left(\arctan(x) - x \log(\sin(\arctan(x)))\right)/\pi$

对于，对称地，对于，。这和任何显而易见的转换都不是我所熟悉的。（事实上，我们可以从基本函数的角度获得CDF的封闭形式这一事实已经严重限制了可能性，但是这种封闭形式有些模糊和复杂的性质很快排除了标准分布或功率的对数/对数/指数/三角转换）当然，反正切是柯西分布（学生）的CDF，该CDF表现为柯西分布的（基本）扰动形式，如红色虚线所示。 $x \ge 0$ $F(x) = 1 - F(|x|)$ $x \lt 0$ $t_1$

在此处输入图片说明

— ub
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@whuber，请注意，它使cdf的形式更接近pdf的形式。有趣的是，该pdf渐近到标准柯西的pdf的一半。因此，使用它的主要原因似乎是因为它的行为在0左右。–

- 2 \log (\sin (a r c t a n (x))) = \log (1 + x^{- 2})

$-2\log(\sin(\mathrm{arctan}(x))) = \log(1+x^{-2})$

— cardinal

@whuber，尽管我想我对您关于cdfs具有封闭形式的声明（提示：Louiville）的看法来自哪里，但我还是要提请谨慎。在这方面，柯西分布本身就是一个“反例”。

— 主教

@cardinal我不明白您对柯西分布的评论。我仅将CDF的形式用作缩小搜索范围的试探法和搜索目标。CDF比PDF更加方便，因为它更容易查看变量转换后的变化。是的，您注意到的关系很明显，但是我选择以这种形式编写CDF，因为在另一个术语中存在反正切（这表明替换x = tan（u））。

— ub

@whuber，也许我最好是要求澄清而不是假设。关于封闭式CDF严重限制可能性的评论，您有何看法？

— 主教

@cardinal我正在执行广泛的搜索，以找到命名的（或迄今为止研究的）分布和相对简单的重新表达（例如幂或对数等），以使具有cdf iff具有pdf。如果以前已经研究过发行版，则很有可能已获得其CDF，并且如果可以封闭形式编写，则该格式也已发布。因此，我们只需要寻找函数形式看起来像与。知道吗？

G

$G$

y

$y$

y (X)

$y(X)$

G

$G$

X

$X$

f

$f$

G

$G$

u - \tan (u) \log (\sin (u))

$u - \tan(u)\log(\sin(u))$

u = u (x)

$u = u(x)$

— ub

也许不是。

我在这个相当广泛的发行版列表中找不到它：

Leemis和McQuestion 2008年单变量分布关系。美国统计学家 62（1）45:53

— 安倍
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