“标准化”是什么意思，以及如何验证样本或分布是否已标准化？

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我有一个问题要询问是否验证均匀分布（ ${\rm Uniform}(a,b)$ ）是否规范化。

首先，对任何分布进行规范化意味着什么？
第二，我们如何验证分布是否规范化？

我通过计算理解

\frac{X - mean}{sd}

$\frac{X-\text{mean}}{\text{sd}}$ 我们得到归一化的数据，但是这里要求验证分布是否被归一化。

— 艾达
source

3

规范化分布的含义并不是那么简单（通常不是规范化分布本身，而是随机变量）。例如，在制服的情况下，有些人可能表示“线性重新缩放，以便获得标准的制服”（即，获得

和

）……而另一个人的意思可能是“线性重新缩放，以使得到平均值0和SD 1”。对于制服，我通常会假设是第一个，但正如您从下面的答案中看到的那样，其他人可能会认为它是其他意思。最好的选择是要求使用该术语的人不要太含糊。

a = 0

$a=0$

b = 1

$b=1$

— Glen_b-恢复莫妮卡

1

更常规的术语标准化（以达到平均的零和一的SD）和归一化（以使范围到间隔

或重新缩放矢量范数

）。因此，重新表达

是一个标准化而密度乘以

由恒定

使

[0, 1]

$[0,1]$

1

$1$

X \to (X - mean) / S D

$X\to (X-\text{mean})/SD$

f

$f$

C

$C$

是一个归一化，因为

是

的范数

。

\int_{- \infty}^{\infty} C f (x) d x = 1

$\int_{-\infty}^\infty Cf(x)dx=1$

\int f (x) d x

$\int f(x)dx$

L^{1}

$L^1$

f

$f$

— ub

也有人问过math.SE。

— Dilip Sarwate

1

请不要交叉发布 @Ada。这违反了SE政策。如果您在一个网站上发布了一个问题，然后又认为应该在另一个网站上发布了问题，请标记问题并请主持人为您迁移。

— gung-恢复莫妮卡

33

不幸的是，术语在不同领域中使用的方式不同，同一领域中的不同人员等等，所以我不确定在这里可以为您解答多少。您应该确保知道您的讲师/教科书用于“标准化”的定义。但是，以下是一些常见的定义：

中心： 标准化：

X - m e a n

$X-{\rm mean}$

标准化

：

\frac{X - mean}{sd}

$\frac{X-\text{mean}}{\text{sd}}$

在这种意义上，归一化会将数据重新缩放为单位间隔。正如@Jeff指出的，标准化将您的数据转换为

分数。而中心只是使平均数据等于

。

\frac{X - min (X)}{max (X) - min (X)}

$\frac{X-\min(X)}{\max(X)-\min(X)}$

z

$z$

0

$0$

在这里值得认识的是，这三个都是线性变换 ; 因此，它们不会改变分布的形状。也就是说，有时人们将 -score转换称为“正态化”，并由于 -scores与正态分布的关联而认为这使他们的数据呈正态分布。事实并非如此（正如@Jeff也指出的那样，您可以通过前后绘制数据来说明这一点）。如果您感兴趣，可以使用Box-Cox转换系列来更改数据的形状。 $z$ $z$

关于如何验证这些转换，这取决于其确切含义。如果仅是为了检查代码是否正常运行，则可以检查均值，SD，最小值和最大值。

— gung-恢复莫妮卡
source

1

我已经看到标准化用于建议标准化的或建议装配到标准正态分布即

，使三者的归一化是最有可能被误解。Ada关于将归一化常数应用于似然函数的评论是另一种可能的解释。

Φ^{- 1} (F (X))

$\Phi^{-1}(F(X))$

— 亨利

4

通过使用样本中每个分数提供的公式，您可以将它们全部转换为 z分数。

$0$ $1$

这样做的目的是将所有内容以相对于样品标准偏差的单位表示。这可能对多种目的很有用，例如比较使用不同单位（也许是厘米和英寸）评分的两个不同数据集。

重要的是，不要将其与询问分布是否为正态（即它是否近似于高斯分布）相混淆。

— 杰夫
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因此，要检查均匀分布是否已归一化，是否等于E（X）= 0且Var（X）= 1，其中X〜Uniform（a，b）？

2

数据甚至不必来自统一的分布，它们可以来自任何分布。同样，这仅适用于您提供的公式；可以使用z分数以外的其他方式对数据进行标准化。例如，智商据说为100分数和的15标准偏差被归一化

— 杰夫

1

咨询电讯局长后，问题是要问是否

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$

$f(x)$

— 艾达
source

2

1

$1$

这是我们要求验证的内容。f（x）不一定必须是pdf，它可以是任何非负函数。对于上述条件不满足的任何非负函数，我们总是可以乘以归一化常数

— Ada

1

不总是。例如，让

f (x) = e^{- x}

$f(x)=e^{-x}$ ，在所有实数上定义的非负函数：没有归一化常数。但是，当您在问题陈述中被告知“某某某类发行版的PDF某某某某”时，则没有什么可以验证的：按照定义，它可以集成为一体。

— ub

确实不是任何非负函数都可以使它满足上述条件，即使我们乘以归一化常数也是如此。

— 阿达（Ada）2013年