多元Bernoulli分布的概率公式

我需要的事件的在正变量贝努利分布的概率的公式$X\in\{0,1\}^n$与给定的$P(X_i=1)=p_i$为单个元件和用于对元素的概率$P(X_i=1 \wedge X_j=1)=p_{ij}$。等效地，我可以给出均值和协方差$X$。

我已经了解到，存在许多$\{0,1\}^n$分布具有性能就像有具有给定的均值和方差许多发行。我找了一个规范的一个$\{0,1\}^n$，就像高斯是一个正则分布$R^n$和给定的均值和方差。

随机变量取值在是离散随机变量。其分布是通过概率充分描述 p 我 = P （X = 我）与我 ∈ { 0 ，1 } Ñ。您给出的概率p i和p i j是某些索引i的p i之和。$\{0,1\}^n$$p_{\mathbf{i}}=P(X=\mathbf{i})$$\mathbf{i}\in\{0,1\}^n$$p_{i}$$p_{ij}$$p_{\mathbf{i}}$$\mathbf{i}$

现在看来您只想使用p i和p i j来描述。如果不假设p i上具有某些属性，这是不可能的。要查看试推导特色功能的X。如果取n = 3，我们得到$p_{\mathbf{i}}$$p_i$$p_{ij}$$p_{\mathbf{i}}$$X$$n=3$

无法重新排列此表达式，以使p

$$\begin{align} Ee^{i(t_1X_1+t_2X_2+t_3X_3)}&=p_{000}+p_{100}e^{it_1}+p_{010}e^{it_2}+p_{001}e^{it_3}\\\\ &+p_{110}e^{i(t_1+t_2)}+p_{101}e^{i(t_1+t_3)}+p_{011}e^{i(t_2+t_3)}+p_{111}e^{i(t_1+t_2+t_3)} \end{align}$$ $p_{\mathbf{i}}$消失。对于高斯随机变量，特征函数仅取决于均值和协方差参数。特征函数唯一地定义分布，因此这就是为什么仅使用均值和协方差就可以唯一地描述高斯的原因。正如我们看到的，对于随机变量并非如此。$X$

 

请参阅以下论文：

JL Teugels，关于多元伯努利和二项分布的一些表示，《多元分析杂志》，第1卷。32号 1990年2月2日，256-268。

这是摘要：

伯努利和二项分布的多元但矢量化版本使用矩阵演算的Kronecker乘积概念建立。多元伯努利分布需要一个参数化模型，该模型为二元变量提供了传统对数线性模型的替代方法。

我不知道结果的分布被称为什么，甚至不知道它的名字，但是让我印象深刻的是，建立此分布的明显方法是考虑用于建模2×2×2×的模型…×2表使用对数线性（泊松回归）模型。如您所知，只有一阶交互作用，因此很自然地假设所有高阶交互作用均为零。

$$P(X_1=x_1, X_2=x_2,\ldots,X_n=x_n) = \prod_i \left[ p_i^{x_i}(1-p_i)^{1-x_i} \prod_{j<i} \left(\frac{p_{ij}}{p_i p_j}\right)^{x_i x_j} \right]$$