分层Gamma-Poisson模型的超先验密度

在数据的层次模型中，其中 在实践中选择值似乎很典型（，以使伽玛分布的均值和方差与数据的均值和方差大致匹配（例如Clayton和Kaldor，1987年“疾病测绘的年龄标准化相对风险的经验贝叶斯估计”，Biometrics）。显然，这只是一个临时解决方案，因为它会夸大研究人员对参数的信心$y$

$$y \sim \textrm{Poisson}(\lambda)$$ $$\lambda \sim \textrm{Gamma}(\alpha, \beta)$$ $\alpha, \beta)$$y$$(\alpha, \beta)$即使基础数据生成过程保持不变，已实现数据的微小波动也可能对伽玛密度产生重大影响。

此外，Gelman 在贝叶斯数据分析（第二版）中写道，这种方法是“ 草率的 ”。在书和本文中（从第3232页开始），他建议以类似于大鼠肿瘤示例（从第130页开始）的方式选择一些优先级较高的密度）。$p(\alpha, \beta)$

尽管很明显，只要只要产生一定的后验密度就可以接受，但我还没有找到研究人员过去用于此问题的任何超高密度示例。如果有人可以指出我使用超优先密度来估计泊松-伽马模型的书籍或文章，我将不胜感激。理想情况下，我对感兴趣，它相对平坦，并且会像老鼠肿瘤示例中的数据一样占主导地位，或者对几种替代规格以及与每种规格相关的取舍进行讨论。$p(\alpha, \beta)$$p(\alpha, \beta)$

我没有真正回答这个问题，因为我不是在指给您使用超优先级的书或文章，而是要描述和链接有关Gamma参数先验的东西。

首先，请注意，当被积分时，泊松-伽马模型会导致带有参数和的负二项分布。第二个参数在范围内。如果您希望不提供任何信息，则在上使用Jeffreys优先是合适的。您可以将先验直接放在或通过更改变量来获得：$\lambda$$\alpha$$\beta/(1+\beta)$$(0,1)$$p = \beta/(1+\beta)$$p$

$p(\beta) \propto \beta^{-1/2}(1+\beta)^{-1}$

另外，您可能会注意到是Gamma分布的比例参数，通常，比例参数的Jeffreys 为。可能会感到奇怪的是，两个模型之间的的Jeffreys先行者有所不同，但是这些模型本身并不等效。一个是用于的分布和另一个用于。支持前者的观点是，假设没有聚类，则数据实际上是分布为负二项式，因此将先验直接放在和$\beta$$\beta$$1/\beta$$\beta$$y | \alpha, \beta$$\lambda | \alpha, \beta$$(\alpha, p)$$\alpha$$p$是要做的事。OTOH，例如，如果您在数据中具有多个群集，且每个群集中的观测值具有相同的，则您确实需要以某种方式对进行建模，因此将视为Gamma分布的比例参数将似乎更合适。（我对一个可能引起争议的话题的想法。）$\lambda$$\lambda$$\beta$

第一个参数也可以通过Jeffreys Priors解决。如果我们使用共同的技术为每个参数独立地开发Jeffreys先验，然后将联合（非Jeffreys）先验形成为两个单参数先验的乘积，我们将获得Gamma分布的形状参数的先验：$\alpha$

$p(\alpha) \propto \sqrt{\text{PG}(1,\alpha)}$

其中polygamma函数。笨拙，但可截断。您可以将其与上面的Jeffreys先验组合在一起，以获得无信息的联合先验分布。将其与Gamma比例参数的先验相结合，得出Gamma参数的参考先验。$\text{PG}(1,\alpha) = \sum_{i=0}^{\infty}(i+\alpha)^{-2}$$1/\beta$

如果我们希望沿Full Jeffreys路线走，并为Gamma参数形成真正的Jeffreys，我们将得到：

$p(\alpha, \beta) \propto \sqrt{\alpha \text{PG}(1,\alpha)-1}/\beta$

但是，用于多维参数的Jeffreys先验通常具有较差的性能以及较差的收敛特性（请参见讲座的链接）。我不知道Gamma是否会出现这种情况，但是测试会提供一些有用的信息。

有关Gamma先验的更多信息，请参见 Yang和Berger 的“非信息先验目录”的第13-14页。许多其他发行版也在那里。有关Jeffreys和参考先验的概述，这里有一些讲义。