拟合曲线时，如何计算拟合参数的95％置信区间？

我正在为数据拟合曲线以提取一个参数。但是，我不确定该参数的确定性以及如何计算/表示其％置信区间。 $95$

假设数据集包含指数衰减的数据，我将曲线拟合到每个数据集。那么我要提取的信息就是指数。我知道的值和价值，我没有兴趣的（那是来自人口变量，而不是过程我试着去模型）。 $b$ $t$ $a$

我使用非线性回归来拟合这些参数。但是，我不知道如何为任何方法计算％置信区间，因此也欢迎使用更广泛的答案。 $95$

f = a \cdot e^{- b t}

$f= a\cdot e^{-bt}$ $示例数据和拟合$

获得值后，如何计算其％的置信区间？提前致谢！ $b$ $95$

confidence-interval nonlinear-regression fitting

— 狮子座
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您如何拟合数据？是否已对功能进行了转换以适合OLS？

— 约翰尼，

从您对答案的评论中可以看出，您实际上正在做非线性最小二乘。如果您开始使用这些信息，将会更快地得到好的答案。我至少添加了一个相关标签。

— Glen_b-恢复莫妮卡

@Glen_b以后，我会更加完善，并将其添加到问题中。我确实考虑过。对于某些数据集，我使用绝对L1距离，而其他时候我仍使用线性回归。所以我希望得到一个广泛的答案。

— 狮子座

如果您想要最小二乘，L1回归和非线性最小二乘的答案，则最好对此进行明确说明。

— Glen_b-恢复莫妮卡

Answers:

线性化然后使用线性回归的问题在于，残差的高斯分布假设对于转换后的数据而言不太可能是正确的。

通常最好使用非线性回归。大多数非线性回归程序会报告最佳拟合参数的标准误差和置信区间。如果您的答案不正确，这些方程式可能会有所帮助。

使用以下公式计算每个标准误差：

SE(Pi) = sqrt[ (SS/DF) * Cov(i,i) ]

Pi：第i个可调（非恒定）参数
SS：残差平方和
DF：自由度（数据点数减去通过回归拟合的参数数）
Cov（i，i）：协方差矩阵的第i个对角元素
sqrt（）：平方根

这是根据最佳拟合值，其标准误差和自由度数来计算每个参数的置信区间的公式。

From [BestFit(Pi)- t(95%,DF)*SE(Pi)]  TO  [BestFit(Pi)+
 t(95%,DF)*SE(Pi)]

BestFit（Pi）是第i个参数的最佳拟合值
t是指定数量DF的95％置信度下t分布的值。
DF是自由度。

以Excel为例，具有95％的置信度（因此alpha = 0.05）和23个自由度：= TINV（0.05,23）DF等于自由度（数据点数减去通过回归拟合得到的参数数）

— 哈维·莫图尔斯基
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这正是我所需要的，谢谢！我在Matlab中使用了lsqcurvefit ，它不输出置信区间或标准误差。它给出了拉格朗日乘数（？），残差和残差的平方2范数。现在，有了您的答案，我就可以计算出我需要的！

— 狮子座

如果认为适合您的数据的模型是：

$f = ae^{-bt}$

然后，您可以进行日志转换响应数据，以使合适的模型为：

$f' = a' -bt$

$f' = ln(f)$ $a' = ln(a)$

# Rough simulated data set.
set.seed(1)
a <- 50; b <- 0.2; n <- 25
x <- 1:n
y <- a*(exp(-b * x))
y <- y + rnorm(n, sd=0.25)
y <- ifelse(y>0, y, 0.1)
plot(x,y)

# Linearise:
y2 <- log(y)
plot(x,y2)

# Fit model to transformed data
model <- lm(y2 ~ x)
summary(model)
confint(model)

# Or:
param <- summary(model)$coefficients[, 1]; se <- summary(model)$coefficients[, 2]
param + qt(0.975, 23) * se
param - qt(0.975, 23) * se

$~N(0,\sigma^2)$

— 学生
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啊，谢谢！一个非常好的和完整的答案！如果我进行线性拟合，可以使用此方法，有时也可以这样做。我希望您不要介意我接受Harveys的回答，因为在这种情况下，我的问题不是线性拟合。仍然是一个有用的答案！

— 狮子座